Integrar as equações diferenciais
y^(n)=x^m

Passo 1

Estamos com a equação diferencial de ordem n dada por y⁽ⁿ⁾ = xᵐ. O conteúdo aqui é integração de polinômios e vamos precisar integrar n vezes, introduzindo uma constante de integração a cada passo.

Passo 2

Vamos fazer as duas primeiras integrações para ver o padrão:
y^(n-1) = integral x^m ,dx = x^m+1m+1 + C1
y^(n-2) = integrall(x^m+1m+1 + C1r),dx = x^m+2(m+1)(m+2) + C1 x + C2

Passo 3

Observando essas integrações, a cada passo a potência de x aumenta em 1 e o denominador acumula fator(es) m+1, m+2, …, além de cada constante C_i gerar um termo em x elevado a alguma potência dividida por fatorial quando integramos as próximas vezes.

Passo 4

Por indução, após k integrações temos
y^(n-k) = x^m+kprodj=1^k(m+j) + C1x^k-1(k-1)! + C2x^k-2(k-2)! + cdots + Ck
Logo, para k = n (ou seja, y):
y(x) = x^m+n(m+1)(m+2)cdots(m+n) + C1x^n-1(n-1)! + C2x^n-2(n-2)! + cdots + Cn-1x + Cn

Resposta

y(x) = m!(m+n)!,x^m+n ;+ sumk=1^n Ck,x^,n-k,(n-k)!,

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