Integrar as equações diferenciais
y^3 y^prime prime=a

Passo 1

Neste exercício temos a equação diferencial de segunda ordem y^3 y'' = a, onde a é constante. O conteúdo envolve redução de ordem usando a substituição p = y' e a regra da cadeia para escrever y'' em termos de p e y. Vamos usar isso para transformar em uma equação de primeira ordem em p.

Passo 2

Definindo p = dfracdydx, aplicamos a regra da cadeia:
y'' = dpdx = dpdydydx = p,dpdy

Passo 3

Substituindo em y^3 y'' = a obtemos
y^3 ,p,dpdy = a
e, reorganizando,
p,dp = a,y^-3dy

Passo 4

Agora integramos ambos os lados em p e y:
integral p,dp = a integral y^-3,dy Longrightarrow p^22 = -a2y^-2 + C1

Passo 5

Multiplicando por 2 e renomeando C = 2C1, fica
p^2 = C - ay^2

Passo 6

Como p = y' = dfracdydx, temos a equação separável
dydx = pmraizC - ay^2 Longrightarrow dx = pm dyraizC - a,y^-2 = pm y,dyraizC y^2 - a

Passo 7

Integramos em x e y:
integral dx = pm integral y,dyraizC y^2 - a Longrightarrow x + C2 = pm 1CraizC y^2 - a

Passo 8

Para encontrar a forma explícita de y, isolamos e elevamos ao quadrado:
raizC y^2 - a = pm C(x + C2) Longrightarrow C y^2 - a = C^2(x + C2)^2 Longrightarrow y^2 = C(x + C2)^2 + aC

Passo 9

Renomeando C e C2 como constantes arbitrárias alpha e beta, chegamos na solução geral.

Resposta

y(x) = pmraizalpha,(x + beta)^2 + tfracaalpha, onde alpha e beta são constantes de integração.

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