Integrar as equações diferenciais
Passo 1
Neste exercício temos a equação diferencial de segunda ordem
, onde
é constante. O conteúdo envolve redução de ordem usando a substituição
e a regra da cadeia para escrever
em termos de
e
. Vamos usar isso para transformar em uma equação de primeira ordem em
.
Passo 2
Definindo
, aplicamos a regra da cadeia:
Passo 3
Substituindo em
obtemos
e, reorganizando,
Passo 4
Agora integramos ambos os lados em
e
:
Passo 5
Multiplicando por 2 e renomeando
, fica
Passo 6
Como
, temos a equação separável
Passo 7
Integramos em
e
:
Passo 8
Para encontrar a forma explícita de
, isolamos e elevamos ao quadrado:
Passo 9
Renomeando
e
como constantes arbitrárias
e
, chegamos na solução geral.