Determinar se a transformação linear T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(x+2 y-z, y+2 z, x+3 y+z), é sobrejetora.

Passo 1

Temos a transformação linear T:R^3 to R^3 definida por T(x,y,z)=(x+2y-z,;y+2z,;x+3y+z). Para verificar se ela é sobrejetora, precisamos checar se a imagem de T tem dimensão 3, isto é, se a matriz associada tem posto 3.

Passo 2

Escrevendo a matriz de T na base canônica e1,e2,e3, obtemos:
A = 1 & 2 & -1 0 & 1 & 2 1 & 3 & 1

Passo 3

Para ver se A tem posto 3, vamos calcular seu determinante. Se det(A)neq0, então rank(A)=3 e T é sobrejetora; se det(A)=0, o posto é menor que 3.
Calculando o determinante:
det(A)=1cdot(1cdot1-2cdot3) - 2cdot(0cdot1-2cdot1) + (-1)cdot(0cdot3-1cdot1)
=1cdot(1-6) - 2cdot(0-2) -1cdot(0-1)
=-5 + 4 + 1 = 0

Passo 4

Como det(A)=0, concluímos que rank(A)<3. De fato, operações entre linhas mostram que duas linhas são iguais, levando a rank(A)=2.
Logo, Im(T) tem dimensão 2, ou seja, é um plano em R^3 e não ocupa todo o espaço.

Resposta

A transformação não é sobrejetora, pois rank(A)=2<3.

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