Determinar se a transformação linear , é sobrejetora.
Passo 1
Temos a transformação linear definida por . Para verificar se ela é sobrejetora, precisamos checar se a imagem de tem dimensão 3, isto é, se a matriz associada tem posto 3.
Passo 2
Escrevendo a matriz de na base canônica , obtemos:
Passo 3
Para ver se A tem posto 3, vamos calcular seu determinante. Se det(A)neq0, então rank(A)=3 e T é sobrejetora; se det(A)=0, o posto é menor que 3.
Calculando o determinante:
Como det(A)=0, concluímos que rank(A)<3. De fato, operações entre linhas mostram que duas linhas são iguais, levando a rank(A)=2.
Logo, Im(T) tem dimensão 2, ou seja, é um plano em R^3 e não ocupa todo o espaço.
Resposta
A transformação não é sobrejetora, pois rank(A)=2<3.