Verificar se a transformação linear T: R^2 R^2, T(x, y)=(2 x+y, 3 x+2 y) é injetora.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão tá pedindo. A gente tem uma transformação linear T: R^2 R^2 definida por T(x, y) = (2x + y, 3x + 2y). O objetivo é descobrir se essa transformação é injetora. Pra isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, mais especificamente, sobre transformações lineares e determinantes de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma transformação linear ser injetora. Uma transformação T é injetora se cada saída dela corresponde a, no máximo, uma única entrada. Em termos matemáticos, isso quer dizer que se T(x1, y1) = T(x2, y2), então necessariamente (x1, y1) = (x2, y2).

Passo 3

Para facilitar a análise, vamos representar a transformação T por uma matriz. A transformação dada pode ser escrita na forma matricial:
A = 2 & 1 3 & 2
Depois, sabemos que uma transformação linear representada por uma matriz é injetora se o determinante dessa matriz for diferente de zero.

Passo 4

Vamos calcular o determinante da matriz A:
det(A) = (2)(2) - (1)(3) = 4 - 3 = 1
Como o determinante é 1, que é diferente de zero, isso nos diz que a matriz A é invertível.

Passo 5

Como a matriz A é invertível, a transformação T é injetora. Isso porque uma matriz inversa garante que cada saída vem de uma única entrada, não havendo duplicidade.

Resposta

A transformação linear T é injetora.

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