Verificar se a transformação linear
é injetora.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão tá pedindo. A gente tem uma transformação linear
definida por
. O objetivo é descobrir se essa transformação é injetora. Pra isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, mais especificamente, sobre transformações lineares e determinantes de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma transformação linear ser injetora. Uma transformação
é injetora se cada saída dela corresponde a, no máximo, uma única entrada. Em termos matemáticos, isso quer dizer que se
, então necessariamente
.
Passo 3
Para facilitar a análise, vamos representar a transformação
por uma matriz. A transformação dada pode ser escrita na forma matricial:
Depois, sabemos que uma transformação linear representada por uma matriz é injetora se o determinante dessa matriz for diferente de zero.
Passo 4
Vamos calcular o determinante da matriz
:
Como o determinante é
, que é diferente de zero, isso nos diz que a matriz
é invertível.
Passo 5
Como a matriz
é invertível, a transformação
é injetora. Isso porque uma matriz inversa garante que cada saída vem de uma única entrada, não havendo duplicidade.
Resposta
A transformação linear
é injetora.