informa que \alpha é a base canônica de \mathbb{R}^{3} e que \beta é a base de \mathbb{R}^{2} dada por
\beta=\{\,b_{1}=(1,1),\;b_{2}=(2,-1)\,\}.
As perguntas implícitas são:
Escrever explicitamente a transformação linear T_{A} (a regra que manda (x,y,z) em \mathbb{R}^{2}).
Encontrar a matriz de T_{A} que representa a transformação em coordenadas da base \alpha (domínio) para a base \beta (contradomínio).
Informações relevantes fornecidas: a própria matriz A, a base canônica de \mathbb{R}^{3} e a base \beta de \mathbb{R}^{2}.]
Passo 2
Primeiro conceito prático: quando uma aplicação linear T:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m} é dada por uma matriz A\in\mathbb{R}^{m\times n} em relação às bases canônicas, a regra é
T(x)=Ax,
onde x é o vetor coluna \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}. Multiplicar matriz por vetor significa tomar combinações lineares das colunas de A com as coordenadas de x. Vamos aplicar isso ao nosso A.
Passo 3
Calcular T_{A} aplicada a um vetor genérico (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}. Multiplicando A pelo vetor coluna obtemos
Portanto a regra da transformação é \,(x,y,z)\mapsto(-4x+5y+z,\;x-2y-5z)\,.]
Passo 4
Para achar a matriz de T_{A} que vai da base \alpha (canônica em \mathbb{R}^{3}) para a base \beta (em \mathbb{R}^{2}), o procedimento é:
Calcular T_{A}(e_{1}),T_{A}(e_{2}),T_{A}(e_{3}) onde e_{1},e_{2},e_{3} são os vetores da base canônica (essas imagens são as colunas de A).
Escrever cada T_{A}(e_{j}) como combinação linear de b_{1} e b_{2}: encontrar coeficientes c_{1},c_{2} tais que c_{1}b_{1}+c_{2}b_{2}=T_{A}(e_{j}). Esses coeficientes formam a coluna j da matriz buscada.
Vou fazer isso passo a passo e explicar como resolver o sistema linear para cada coluna.
Passo 5
As colunas de A são precisamente T_{A}(e_{1}),T_{A}(e_{2}),T_{A}(e_{3}). Portanto:
Agora vamos expressar cada um destes vetores na base \beta.]
Passo 6
Para T_{A}(e_{1})=\begin{pmatrix}-4\\[2pt]1\end{pmatrix}\), procuramos \(c_{1},c_{2}\) tais que
\[c_{1}\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\end{pmatrix}+c_{2}\begin{pmatrix}2\\[2pt]-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-4\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Isto gera o sistema linear (escrevendo coordenadas):
Subtraindo a segunda equação da primeira obtemos 3c_{2}=-5\], logo \(c_{2}=-\tfrac{5}{3}. Em seguida c_{1}=1+c_{2}=1-\tfrac{5}{3}=-\tfrac{2}{3}. Portanto as coordenadas de T_{A}(e_{1}) na base \beta são \begin{pmatrix}-\tfrac{2}{3}\\[4pt]-\tfrac{5}{3}\end{pmatrix}.]
Passo 7
Para T_{A}(e_{2})=\begin{pmatrix}5\\[2pt]-2\end{pmatrix}\), fazemos igual:
\[c_{1}\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\end{pmatrix}+c_{2}\begin{pmatrix}2\\[2pt]-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}5\\[2pt]-2\end{pmatrix},
Subtraindo a segunda da primeira: 3c_{2}=7\] então \(c_{2}=\tfrac{7}{3}. Logo c_{1}=-2+c_{2}=-2+\tfrac{7}{3}=\tfrac{1}{3}. Assim as coordenadas de T_{A}(e_{2}) em \beta são \begin{pmatrix}\tfrac{1}{3}\\[4pt]\tfrac{7}{3}\end{pmatrix}.]
Passo 8
Para T_{A}(e_{3})=\begin{pmatrix}1\\[2pt]-5\end{pmatrix}\), resolvemos
\[c_{1}\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\end{pmatrix}+c_{2}\begin{pmatrix}2\\[2pt]-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\[2pt]-5\end{pmatrix},
Subtraindo a segunda da primeira: 3c_{2}=6\] então \(c_{2}=2. Assim c_{1}=-5+c_{2}=-5+2=-3. As coordenadas de T_{A}(e_{3}) em \beta são \begin{pmatrix}-3\\[4pt]2\end{pmatrix}.]
Passo 9
Agora montamos a matriz de T_{A} que envia coordenadas em \alpha (colunas representam imagens de e_{1},e_{2},e_{3}) para coordenadas em \beta. As colunas são exatamente os vetores de coordenadas que calculamos:
Interpretação prática: se v=(x,y,z) tem coordenadas \begin{pmatrix}x\\[2pt]y\\[2pt]z\end{pmatrix} em \alpha, então as coordenadas de T_{A}(v) em \beta são