onde \alpha é a base canônica de \mathbb{R}^{2} e \beta é a base canônica de \mathbb{R}^{3}.
Informações relevantes dadas: a matriz A (que tem duas colunas e três linhas) e que as bases são as canônicas (ou seja, vetores e_{1}=(1,0) e e_{2}=(0,1) em \mathbb{R}^{2}, e os vetores canônicos em \mathbb{R}^{3}).]
Passo 2
Conceito importante (explicação didática): quando usamos as bases canônicas, a matriz A representa a transformação linear T_{A} de modo que cada coluna de A é a imagem do correspondente vetor da base canônica de \mathbb{R}^{2}. Ou seja,
\text{coluna 1 de }A = T_{A}(e_{1}),\qquad \text{coluna 2 de }A = T_{A}(e_{2}).
Aqui e_{1}=(1,0) e e_{2}=(0,1). Isso vem da propriedade linear e da definição do produto matriz-vetor: T_{A}(x)=Ax.
Passo 3
Pegando explicitamente as colunas da matriz A (estou lendo esses vetores diretamente da matriz dada):
a primeira coluna é \begin{pmatrix}2\\[2pt]1\\[2pt]-1\end{pmatrix} e a segunda coluna é \begin{pmatrix}0\\[2pt]-2\\[2pt]3\end{pmatrix}. Portanto,
Agora, para qualquer vetor (x,y)\in\mathbb{R}^{2} (representado em coordenadas canônicas), usamos linearidade: T_{A}(x,y)=x\,T_{A}(e_{1})+y\,T_{A}(e_{2}). Vou desenvolver isso passo a passo:
Simplificando cada componente obtemos a fórmula explícita da transformação (é o mesmo que multiplicar a matriz A pelo vetor coluna \begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}, feito componente a componente):