Determinar as transformações lineares a seguir.
T_{A}: R^{2} \rightarrow R^{3}, A=\left(\begin{array}{cc}2 & 0 \\\\ 1 & -2 \\\\ -1 & 3\end{array}\right), sendo \alpha e \beta bases canônicas do \mathrm{R}^{2} e \mathrm{R}^{3} respectivamente.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a transformação linear T_{A}: \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} dada pela matriz
A=\begin{pmatrix}2 & 0 \\[4pt] 1 & -2 \\[4pt] -1 & 3\end{pmatrix},
onde \alpha é a base canônica de \mathbb{R}^{2} e \beta é a base canônica de \mathbb{R}^{3}.
Informações relevantes dadas: a matriz A (que tem duas colunas e três linhas) e que as bases são as canônicas (ou seja, vetores e_{1}=(1,0) e e_{2}=(0,1) em \mathbb{R}^{2}, e os vetores canônicos em \mathbb{R}^{3}).]

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): quando usamos as bases canônicas, a matriz A representa a transformação linear T_{A} de modo que cada coluna de A é a imagem do correspondente vetor da base canônica de \mathbb{R}^{2}. Ou seja,
\text{coluna 1 de }A = T_{A}(e_{1}),\qquad \text{coluna 2 de }A = T_{A}(e_{2}).
Aqui e_{1}=(1,0) e e_{2}=(0,1). Isso vem da propriedade linear e da definição do produto matriz-vetor: T_{A}(x)=Ax.

Passo 3

Pegando explicitamente as colunas da matriz A (estou lendo esses vetores diretamente da matriz dada):
a primeira coluna é \begin{pmatrix}2\\[2pt]1\\[2pt]-1\end{pmatrix} e a segunda coluna é \begin{pmatrix}0\\[2pt]-2\\[2pt]3\end{pmatrix}. Portanto,
T_{A}(e_{1})=\begin{pmatrix}2\\[2pt]1\\[2pt]-1\end{pmatrix},\qquad T_{A}(e_{2})=\begin{pmatrix}0\\[2pt]-2\\[2pt]3\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora, para qualquer vetor (x,y)\in\mathbb{R}^{2} (representado em coordenadas canônicas), usamos linearidade: T_{A}(x,y)=x\,T_{A}(e_{1})+y\,T_{A}(e_{2}). Vou desenvolver isso passo a passo:
T_{A}(x,y)=x\begin{pmatrix}2\\[2pt]1\\[2pt]-1\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}0\\[2pt]-2\\[2pt]3\end{pmatrix}.
Fazendo a soma componente a componente:
T_{A}(x,y)=\begin{pmatrix}2x+0\cdot y\\[4pt]1\cdot x+(-2)\cdot y\\[4pt]-1\cdot x+3\cdot y\end{pmatrix}.]

Passo 5

Simplificando cada componente obtemos a fórmula explícita da transformação (é o mesmo que multiplicar a matriz A pelo vetor coluna \begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}, feito componente a componente):
T_{A}(x,y)=\begin{pmatrix}2x\\[4pt]x-2y\\[4pt]-x+3y\end{pmatrix}.
Explicação breve de verificação alternativa: multiplicando diretamente
\begin{pmatrix}2 & 0 \\[4pt] 1 & -2 \\[4pt] -1 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2x+0y\\[4pt]1x-2y\\[4pt]-1x+3y\end{pmatrix},
chegamos ao mesmo resultado. Isso é exatamente T_{A}(x,y).]

Passo 6

Um pequeno exemplo numérico (para treinar na prova): calcule T_{A}(1,2). Usando a fórmula,
T_{A}(1,2)=\begin{pmatrix}2\cdot1\\[4pt]1-2\cdot2\\[4pt]-1+3\cdot2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]-3\\[4pt]5\end{pmatrix}.
Isso mostra como aplicar rapidamente a fórmula que você deverá lembrar na hora da prova.]

Resposta

T_{A}(e_{1})=\begin{pmatrix}2\\[2pt]1\\[2pt]-1\end{pmatrix}
T_{A}(e_{2})=\begin{pmatrix}0\\[2pt]-2\\[2pt]3\end{pmatrix}
T_{A}(x,y)=\begin{pmatrix}2x\\[4pt]x-2y\\[4pt]-x+3y\end{pmatrix}]

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