Determinar as transformações lineares a seguir.
T: M_{2}(R) \rightarrow R^{2} ; T\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right)=(1,-1), T\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right)=(0,1), T\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 1 & 0\end{array}\right)=(1,0) \mathrm{e} T\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right)=(2,1).

Passo 1

O enunciado pede para determinar a transformação linear T: M_{2}(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^{2} — isto é, encontrar uma fórmula que dê T aplicada a qualquer matriz 2\times2. As informações dadas são os valores de T sobre as quatro matrizes-canônicas (que eu vou listar explicitamente):
E_{11}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},\quad E_{12}=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},\quad E_{21}=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix},\quad E_{22}=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Os valores dados no enunciado (peguei-os do enunciado) são:
T(E_{11})=(1,-1),\quad T(E_{12})=(0,1),\quad T(E_{21})=(1,0),\quad T(E_{22})=(2,1).
O que eu preciso fornecer: uma expressão explícita para T\bigl(\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix}\bigr) em termos de a,b,c,d (qualquer matriz 2\times2 pode ser escrita com essas entradas).]

Passo 2

Conceito-chave usado (explicando devagar): qualquer matriz
A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix}\in M_{2}(\mathbb{R})
pode ser escrita como combinação linear das matrizes-canônicas:
A = aE_{11}+bE_{12}+cE_{21}+dE_{22}.
Propriedade da linearidade (o que vamos usar): se T é linear então, para quaisquer escalares x,y e matrizes M,N,
T(xM+yN)=x\,T(M)+y\,T(N).
Isto significa que, conhecendo T nas matrizes-canônicas, eu posso obter T(A) aplicando linearidade às componentes a,b,c,d.]

Passo 3

Aplicando linearidade à decomposição de A:
T\!\left(\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix}\right) = T(aE_{11}+bE_{12}+cE_{21}+dE_{22}) = a\,T(E_{11}) + b\,T(E_{12}) + c\,T(E_{21}) + d\,T(E_{22}).
Agora substituo os vetores dados:
= a\,(1,-1) + b\,(0,1) + c\,(1,0) + d\,(2,1).]

Passo 4

Vou calcular coordenada a coordenada (somando os vetores em \mathbb{R}^{2}). Para a primeira coordenada:
\text{1ª coord.} = a\cdot 1 + b\cdot 0 + c\cdot 1 + d\cdot 2 = a + c + 2d.ª
Para a segunda coordenada:
\text{2ª coord.} = a\cdot(-1) + b\cdot 1 + c\cdot 0 + d\cdot 1 = -a + b + d.ª
Portanto,
T\!\left(\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix}\right) = \bigl(a + c + 2d,\; -a + b + d\bigr).]

Passo 5

Interpretação prática e forma matricial (útil na prova): se eu identificar a matriz A com o vetor coluna \begin{pmatrix}a\\[4pt]b\\[4pt]c\\[4pt]d\end{pmatrix} (ordem (a,b,c,d)), então T é representada pela matriz 2\times4 que multiplica esse vetor. A matriz obtida lendo as fórmulas das coordenadas é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2\\[4pt] -1 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix},
pois
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2\\[4pt] -1 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\[4pt]b\\[4pt]c\\[4pt]d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a+c+2d\\[4pt]-a+b+d\end{pmatrix}.]

Passo 6

Verificação rápida com os dados iniciais (confirmação): aplicando a fórmula ao caso E_{11} (que tem a=1,b=0,c=0,d=0) dá
T(E_{11})=(1+0+0,\,-1+0+0)=(1,-1),
que coincide com o enunciado. Os outros E_{ij} também conferem — isso indica que a dedução está correta.

Passo 7

Dica para a prova (curta e prática): ao ver um T:M_{2}\to\mathbb{R}^2 com valores em E_{ij}, escreva uma matriz genérica \begin{pmatrix}a&b\\[4pt]c&d\end{pmatrix} como combinação linear das E_{ij} e aplique linearidade. Somando coordenada a coordenada você já tem a fórmula final — simples e direto.]

Resposta

T\!\left(\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix}\right)=\bigl(a + c + 2d,\; -a + b + d\bigr).
\text{Matriz de }T\text{ (na base }(a,b,c,d)\text{):}\quad \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2\\[4pt] -1 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

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