O enunciado pede para determinar a transformação linear T: M_{2}(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^{2} — isto é, encontrar uma fórmula que dê T aplicada a qualquer matriz 2\times2. As informações dadas são os valores de T sobre as quatro matrizes-canônicas (que eu vou listar explicitamente):
O que eu preciso fornecer: uma expressão explícita para T\bigl(\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix}\bigr) em termos de a,b,c,d (qualquer matriz 2\times2 pode ser escrita com essas entradas).]
Passo 2
Conceito-chave usado (explicando devagar): qualquer matriz
Vou calcular coordenada a coordenada (somando os vetores em \mathbb{R}^{2}). Para a primeira coordenada:
\text{1ª coord.} = a\cdot 1 + b\cdot 0 + c\cdot 1 + d\cdot 2 = a + c + 2d.ª
Para a segunda coordenada:
\text{2ª coord.} = a\cdot(-1) + b\cdot 1 + c\cdot 0 + d\cdot 1 = -a + b + d.ª
Portanto,
T\!\left(\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix}\right) = \bigl(a + c + 2d,\; -a + b + d\bigr).]
Passo 5
Interpretação prática e forma matricial (útil na prova): se eu identificar a matriz A com o vetor coluna \begin{pmatrix}a\\[4pt]b\\[4pt]c\\[4pt]d\end{pmatrix} (ordem (a,b,c,d)), então T é representada pela matriz 2\times4 que multiplica esse vetor. A matriz obtida lendo as fórmulas das coordenadas é
Verificação rápida com os dados iniciais (confirmação): aplicando a fórmula ao caso E_{11} (que tem a=1,b=0,c=0,d=0) dá
T(E_{11})=(1+0+0,\,-1+0+0)=(1,-1),
que coincide com o enunciado. Os outros E_{ij} também conferem — isso indica que a dedução está correta.
Passo 7
Dica para a prova (curta e prática): ao ver um T:M_{2}\to\mathbb{R}^2 com valores em E_{ij}, escreva uma matriz genérica \begin{pmatrix}a&b\\[4pt]c&d\end{pmatrix} como combinação linear das E_{ij} e aplique linearidade. Somando coordenada a coordenada você já tem a fórmula final — simples e direto.]
Resposta
T\!\left(\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix}\right)=\bigl(a + c + 2d,\; -a + b + d\bigr).
\text{Matriz de }T\text{ (na base }(a,b,c,d)\text{):}\quad \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2\\[4pt] -1 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]