Determinar as transformações lineares a seguir. T_{A}: R^{2} \rightarrow R^{2}, sendo A=\left(\begin{array}{cc}3 & 1 \\\\ -2 & 4\end{array}\right) e \alpha base canônica do \mathrm{R}^{2}.
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear T_{A}: \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} determinada pela matriz
A = \begin{pmatrix}3 & 1 \\[4pt] -2 & 4\end{pmatrix}
e informa que \alpha é a base canônica de \mathbb{R}^{2}. A pergunta é: determinar a transformação linear T_{A}, ou seja, achar explicitamente como T_{A} age sobre vetores de \mathbb{R}^{2} (em particular, sobre os vetores da base canônica e sobre um vetor genérico (x,y)).]
Passo 2
O que significa “determinar” T_{A}? Vou explicar de forma bem didática. A base canônica de \mathbb{R}^{2} é formada por
Para uma matriz A vista na base canônica, há um fato muito prático e importante: as colunas de A são exatamente as imagens dos vetores da base canônica por T_{A}. Em outras palavras,
T_{A}(e_{1}) = \text{primeira coluna de }A,\qquad T_{A}(e_{2}) = \text{segunda coluna de }A.
Também, pela linearidade, se tivermos um vetor genérico v=\begin{pmatrix}x \\[4pt] y\end{pmatrix}, então