Determinar as transformações lineares a seguir.
T_{A}: R^{2} \rightarrow R^{2}, sendo A=\left(\begin{array}{cc}3 & 1 \\\\ -2 & 4\end{array}\right) e \alpha base canônica do \mathrm{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T_{A}: \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} determinada pela matriz
A = \begin{pmatrix}3 & 1 \\[4pt] -2 & 4\end{pmatrix}
e informa que \alpha é a base canônica de \mathbb{R}^{2}. A pergunta é: determinar a transformação linear T_{A}, ou seja, achar explicitamente como T_{A} age sobre vetores de \mathbb{R}^{2} (em particular, sobre os vetores da base canônica e sobre um vetor genérico (x,y)).]

Passo 2

O que significa “determinar” T_{A}? Vou explicar de forma bem didática. A base canônica de \mathbb{R}^{2} é formada por
e_{1} = \begin{pmatrix}1 \\[4pt] 0\end{pmatrix},\qquad e_{2} = \begin{pmatrix}0 \\[4pt] 1\end{pmatrix}.
Para uma matriz A vista na base canônica, há um fato muito prático e importante: as colunas de A são exatamente as imagens dos vetores da base canônica por T_{A}. Em outras palavras,
T_{A}(e_{1}) = \text{primeira coluna de }A,\qquad T_{A}(e_{2}) = \text{segunda coluna de }A.
Também, pela linearidade, se tivermos um vetor genérico v=\begin{pmatrix}x \\[4pt] y\end{pmatrix}, então
T_{A}\!\begin{pmatrix}x \\[4pt] y\end{pmatrix} = x\,T_{A}(e_{1}) + y\,T_{A}(e_{2}).
Vou usar esse procedimento passo a passo.]

Passo 3

Calcular T_{A}(e_{1}). Usamos que e_{1}=(1,0)^{T} e multiplicamos A por e_{1}:
T_{A}(e_{1}) = A\begin{pmatrix}1 \\[4pt] 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & 1 \\[4pt] -2 & 4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 \\[4pt] 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\cdot 1 + 1\cdot 0 \\[4pt] -2\cdot 1 + 4\cdot 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\[4pt] -2\end{pmatrix}.
Interpretação: a primeira coluna de A é \begin{pmatrix}3\\\ -2\end{pmatrix}, que é T_{A}(e_{1}).]

Passo 4

Calcular T_{A}(e_{2}). Usamos e_{2}=(0,1)^{T} e multiplicamos:
T_{A}(e_{2}) = A\begin{pmatrix}0 \\[4pt] 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & 1 \\[4pt] -2 & 4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 \\[4pt] 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\cdot 0 + 1\cdot 1 \\[4pt] -2\cdot 0 + 4\cdot 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\[4pt] 4\end{pmatrix}.
Interpretação: a segunda coluna de A é \begin{pmatrix}1\\\ 4\end{pmatrix}, que é T_{A}(e_{2}).]

Passo 5

Agora obtenho T_{A} em um vetor genérico. Seja v=\begin{pmatrix}x \\[4pt] y\end{pmatrix} um vetor qualquer de \mathbb{R}^{2}. Pela linearidade:
T_{A}\!\begin{pmatrix}x \\[4pt] y\end{pmatrix} = x\,T_{A}(e_{1}) + y\,T_{A}(e_{2}).
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
T_{A}\!\begin{pmatrix}x \\[4pt] y\end{pmatrix} = x\begin{pmatrix}3 \\[4pt] -2\end{pmatrix} + y\begin{pmatrix}1 \\[4pt] 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3x \\[4pt] -2x\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}y \\[4pt] 4y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3x + y \\[4pt] -2x + 4y\end{pmatrix}.
Observação prática: essa expressão coincide com a multiplicação matricial direta A\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}.]

Passo 6

Para fixar a ideia, um exemplo numérico rápido: aplicando T_{A} ao vetor \begin{pmatrix}2 \\[4pt] 3\end{pmatrix},
T_{A}\!\begin{pmatrix}2 \\[4pt] 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\cdot 2 + 1\cdot 3 \\[4pt] -2\cdot 2 + 4\cdot 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 + 3 \\[4pt] -4 + 12\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}9 \\[4pt] 8\end{pmatrix}.
Isso confirma que usamos corretamente as colunas de A e a linearidade.]

Resposta

T_{A}(e_{1})=\begin{pmatrix}3 \\[4pt] -2\end{pmatrix}
T_{A}(e_{2})=\begin{pmatrix}1 \\[4pt] 4\end{pmatrix}
T_{A}\!\begin{pmatrix}x \\[4pt] y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3x + y \\[4pt] -2x + 4y\end{pmatrix}]

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