Determinar as transformações lineares a seguir.
e
.
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
com as imagens de dois vetores:
A pergunta é: determinar explicitamente
para um vetor arbitrário
(ou equivalentemente a matriz de
).
Passo 2
Primeiro vamos verificar que os vetores dados
e
são independentes (portanto formam uma base de
). Se fossem múltiplos um do outro existiria
tal que
Igualando componentes teríamos
e
. Essas duas equações dão
e
, que são contraditórias. Logo não são múltiplos e, como são dois vetores em
, são base.
Passo 3
Pelo fato de serem base, qualquer vetor
pode ser escrito de forma única como combinação linear
onde
e
são escalares que dependem de
e
. Vamos achar
e
em função de
. Escrevendo as componentes:
Passo 4
Resolvendo o sistema para
e
. Soma-se as duas equações:
Substituindo em
obtemos
Portanto
Passo 5
Agora usamos a linearidade de
: para quaisquer escalares
e vetores
vale
. Assim, para
com as
acima,
Substituímos as imagens dadas
e
.
Passo 6
Calculemos componente a componente. Para a primeira componente:
Para a segunda componente:
Para a terceira componente:
Passo 7
Portanto, para qualquer
temos
Como verificação opcional,
e
, que coincidem com os dados iniciais. A matriz de
(colunas sendo
e
) é