Determinar as transformações lineares a seguir.
T: R^{2} \rightarrow R^{3} ; \mathrm{T}(1,-1)=(3,2,-2) e \mathrm{T}(-1,2)=(1,-1,3).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T: \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} com as imagens de dois vetores:
T(1,-1)=(3,2,-2)
T(-1,2)=(1,-1,3)
A pergunta é: determinar explicitamente T(x,y) para um vetor arbitrário (x,y)\in\mathbb{R}^2 (ou equivalentemente a matriz de T).

Passo 2

Primeiro vamos verificar que os vetores dados (1,-1) e (-1,2) são independentes (portanto formam uma base de \mathbb{R}^2). Se fossem múltiplos um do outro existiria k tal que
(1,-1)=k(-1,2).
Igualando componentes teríamos 1=-k e -1=2k. Essas duas equações dão k=-1 e k=-\tfrac12, que são contraditórias. Logo não são múltiplos e, como são dois vetores em \mathbb{R}^2, são base.

Passo 3

Pelo fato de serem base, qualquer vetor (x,y)\in\mathbb{R}^2 pode ser escrito de forma única como combinação linear
(x,y)=\alpha(1,-1)+\beta(-1,2),
onde \alpha e \beta são escalares que dependem de x e y. Vamos achar \alpha e \beta em função de x,y. Escrevendo as componentes:
\alpha-\beta = x
-\,\alpha+2\beta = y.

Passo 4

Resolvendo o sistema para \alpha e \beta. Soma-se as duas equações:
(\alpha-\beta)+(-\alpha+2\beta)=x+y \implies \beta = x+y.
Substituindo em \alpha-\beta=x obtemos
\alpha = x+\beta = x+(x+y)=2x+y.
Portanto
\alpha=2x+y,\qquad \beta=x+y.

Passo 5

Agora usamos a linearidade de T: para quaisquer escalares \alpha,\beta e vetores u,v vale T(\alpha u+\beta v)=\alpha T(u)+\beta T(v). Assim, para (x,y) com as \alpha,\beta acima,
T(x,y)=(2x+y)\,T(1,-1)+(x+y)\,T(-1,2).
Substituímos as imagens dadas T(1,-1)=(3,2,-2) e T(-1,2)=(1,-1,3).

Passo 6

Calculemos componente a componente. Para a primeira componente:
(2x+y)\cdot 3 + (x+y)\cdot 1 = 6x+3y + x + y = 7x+4y.
Para a segunda componente:
(2x+y)\cdot 2 + (x+y)\cdot(-1) = 4x+2y - x - y = 3x+y.
Para a terceira componente:
(2x+y)\cdot(-2) + (x+y)\cdot 3 = -4x-2y + 3x + 3y = -x+y.

Passo 7

Portanto, para qualquer (x,y)\in\mathbb{R}^2 temos
T(x,y)=(7x+4y,\;3x+y,\;-x+y).
Como verificação opcional, T(1,-1)=(7-4,\;3-1,\;-1-1)=(3,2,-2) e T(-1,2)=(-7+8,\;-3+2,\;1+2)=(1,-1,3), que coincidem com os dados iniciais. A matriz de T (colunas sendo T(1,0) e T(0,1)) é
\begin{pmatrix}7 & 4 \\[4pt] 3 & 1 \\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix}.]

Resposta

T(x,y)=(7x+4y,\;3x+y,\;-x+y)
\begin{pmatrix}7 & 4 \\[4pt] 3 & 1 \\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix}]

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