Dados A=(0,2,3), r: X=(0,1,-1)+t(1,0,2), ache os pontos de r que distam \sqrt{5} de A. Encontre ainda a distância do ponto A à reta r ? O que você pode concluir?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) achar os pontos da reta r que estão à distância \sqrt{5} do ponto A; (2) encontrar a distância do ponto A à reta r e dizer o que se conclui.
Informações dadas (tudo daqui é dado no enunciado):
A=(0,2,3).
A reta r é dada parametricamente por \displaystyle X=(0,1,-1)+t(1,0,2), isto é, um ponto sobre r é B=(0,1,-1) (quando t=0) e o vetor diretor é v=(1,0,2).
Não se começa a resolver ainda; só reescrevi o que foi pedido e os dados relevantes.

Passo 2

Vamos escrever um ponto genérico P da reta r em função do parâmetro t. Usando a forma paramétrica:
P(t)=\bigl(t,\;1,\;-1+2t\bigr).
Explicando: cada coordenada de P vem de somar o ponto inicial (0,1,-1) ao múltiplo t do vetor diretor (1,0,2).

Passo 3

Agora escrevo o vetor \overrightarrow{AP} (do ponto A até P(t)) para poder calcular a distância. Temos
\overrightarrow{AP}=P(t)-A=\bigl(t-0,\;1-2,\;(-1+2t)-3\bigr)=\bigl(t,\;-1,\;2t-4\bigr).
Para evitar raízes enquanto calculamos, trabalho com a distância ao quadrado:
\text{dist}^2(A,P(t))=\|\overrightarrow{AP}\|^2 = t^2 + (-1)^2 + (2t-4)^2.
Explico rápido: o quadrado da norma de um vetor (x,y,z) é x^2+y^2+z^2; aqui aplicamos isso a \overrightarrow{AP}.

Passo 4

Desenvolvo a expressão para \text{dist}^2(A,P(t)):
\text{dist}^2(A,P(t))=t^2 + 1 + (4t^2 -16t +16)=5t^2 -16t +17.
Queremos os pontos cuja distância é \sqrt{5}, ou seja \text{dist}^2=\bigl(\sqrt{5}\bigr)^2=5. Então igualamos:
5t^2 -16t +17 = 5.
Subtraindo 5 de ambos os lados:
5t^2 -16t +12 = 0.

Passo 5

Resolvo a equação quadrática \displaystyle 5t^2 -16t +12 = 0. Calculamos o discriminante:
\Delta = (-16)^2 - 4\cdot 5\cdot 12 = 256 - 240 = 16.
Como \Delta=16, as raízes são
t=\frac{16\pm \sqrt{16}}{2\cdot 5}=\frac{16\pm 4}{10}.
Assim
t_1=\frac{16+4}{10}=\frac{20}{10}=2,\qquad t_2=\frac{16-4}{10}=\frac{12}{10}=\frac{6}{5}.

Passo 6

Agora obtenho as coordenadas dos pontos correspondentes a t_1 e t_2 substituindo em P(t)=\bigl(t,1,-1+2t\bigr).
Para t_1=2:
P(2)=\bigl(2,\;1,\;-1+2\cdot 2\bigr)=\bigl(2,\;1,\;3\bigr).
Para t_2=\dfrac{6}{5}:
P\!\left(\frac{6}{5}\right)=\left(\frac{6}{5},\;1,\;-1+2\cdot\frac{6}{5}\right)=\left(\frac{6}{5},\;1,\;-\!1+\frac{12}{5}\right)=\left(\frac{6}{5},\;1,\;\frac{7}{5}\right).

Passo 7

Agora vamos calcular a distância mínima de A à reta r. Dois caminhos possíveis: (A) minimizar a função \text{dist}^2(t)=5t^2-16t+17 como função de t (vértice da parábola); (B) usar a fórmula geométrica com produto vetorial. Vou fazer os dois para reforçar o entendimento.
Método (A) — vértice da parábola: a parábola f(t)=5t^2-16t+17 tem mínimo em t=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{16}{10}=\dfrac{8}{5}. Substituindo:
\text{dist}^2_{\min}=f\!\left(\frac{8}{5}\right)=5\left(\frac{8}{5}\right)^2-16\cdot\frac{8}{5}+17.
Calculo passo a passo:
\left(\frac{8}{5}\right)^2=\frac{64}{25},\quad 5\cdot\frac{64}{25}=\frac{64}{5}=12,8,
16\cdot\frac{8}{5}=\frac{128}{5}=25,6,
12{,}8 - 25{,}6 + 17 = 4{,}2 = \frac{21}{5}.
Logo \text{dist}_{\min}=\sqrt{\dfrac{21}{5}}.
Método (B) — produto vetorial (razão geométrica): a distância de um ponto A à reta que passa por B com vetor diretor v é
\text{dist}(A,r)=\frac{\|\,\overrightarrow{BA}\times v\,\|}{\|v\|},
porque a área do paralelogramo gerado por \overrightarrow{BA} e v é \|\overrightarrow{BA}\times v\|=\|v\|\cdot altura, e a altura é a distância buscada. Aqui \overrightarrow{BA}=A-B. Tomando B=(0,1,-1), temos
\overrightarrow{BA}=A-B=(0,2,3)-(0,1,-1)=(0,1,4),
v=(1,0,2).
Calculando o produto vetorial:
\overrightarrow{BA}\times v = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] 0 & 1 & 4\\[4pt] 1 & 0 & 2 \end{vmatrix} =(2,\,4,\,-1).
Norma do produto vetorial:
\|\,\overrightarrow{BA}\times v\,\|=\sqrt{2^2+4^2+(-1)^2}=\sqrt{4+16+1}=\sqrt{21}.
Norma de v:
\|v\|=\sqrt{1^2+0^2+2^2}=\sqrt{5}.
Portanto
\text{dist}(A,r)=\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{21}{5}},
que confirma o resultado do método (A).]

Passo 8

Comparação e conclusão: \dfrac{21}{5}=4{,}2<5, então
\sqrt{\frac{21}{5}}<\sqrt{5}.
Isto significa que a distância mínima de A à reta r é menor do que \sqrt{5}. Geometricamente, a esfera centrada em A de raio \sqrt{5} corta a reta r em dois pontos distintos — os dois que encontramos em

Resposta

Os pontos de r que distam \sqrt{5} de A são \bigl(2,\,1,\,3\bigr) e \bigl(\dfrac{6}{5},\,1,\,\dfrac{7}{5}\bigr).
A distância do ponto A à reta r é \displaystyle \sqrt{\frac{21}{5}}.
Conclusão: \displaystyle \sqrt{\frac{21}{5}}<\sqrt{5}, logo a esfera de raio \sqrt{5} centrada em A intersecta r em dois pontos (os dois encontrados acima).

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