Dados A=(0,2,3), r: X=(0,1,-1)+t(1,0,2), ache os pontos de r que distam \sqrt{5} de A. Encontre ainda a distância do ponto A à reta r ? O que você pode concluir?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) achar os pontos da reta r que estão à distância \sqrt{5} do ponto A; (2) encontrar a distância do ponto A à reta r e dizer o que se conclui.
Informações dadas (tudo daqui é dado no enunciado): A=(0,2,3).
A reta r é dada parametricamente por \displaystyle X=(0,1,-1)+t(1,0,2), isto é, um ponto sobre r é B=(0,1,-1) (quando t=0) e o vetor diretor é v=(1,0,2).
Não se começa a resolver ainda; só reescrevi o que foi pedido e os dados relevantes.
Passo 2
Vamos escrever um ponto genérico P da reta r em função do parâmetro t. Usando a forma paramétrica:
P(t)=\bigl(t,\;1,\;-1+2t\bigr).
Explicando: cada coordenada de P vem de somar o ponto inicial (0,1,-1) ao múltiplo t do vetor diretor (1,0,2).
Passo 3
Agora escrevo o vetor \overrightarrow{AP} (do ponto A até P(t)) para poder calcular a distância. Temos
Agora vamos calcular a distância mínima de A à reta r. Dois caminhos possíveis: (A) minimizar a função \text{dist}^2(t)=5t^2-16t+17 como função de t (vértice da parábola); (B) usar a fórmula geométrica com produto vetorial. Vou fazer os dois para reforçar o entendimento.
Método (A) — vértice da parábola: a parábola f(t)=5t^2-16t+17 tem mínimo em t=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{16}{10}=\dfrac{8}{5}. Substituindo:
porque a área do paralelogramo gerado por \overrightarrow{BA} e v é \|\overrightarrow{BA}\times v\|=\|v\|\cdot altura, e a altura é a distância buscada. Aqui \overrightarrow{BA}=A-B. Tomando B=(0,1,-1), temos
Comparação e conclusão: \dfrac{21}{5}=4{,}2<5, então
\sqrt{\frac{21}{5}}<\sqrt{5}.
Isto significa que a distância mínima de A à reta r é menor do que \sqrt{5}. Geometricamente, a esfera centrada em A de raio \sqrt{5} corta a reta r em dois pontos distintos — os dois que encontramos em
Resposta
Os pontos de r que distam \sqrt{5} de A são \bigl(2,\,1,\,3\bigr) e \bigl(\dfrac{6}{5},\,1,\,\dfrac{7}{5}\bigr).
A distância do ponto A à reta r é \displaystyle \sqrt{\frac{21}{5}}.
Conclusão: \displaystyle \sqrt{\frac{21}{5}}<\sqrt{5}, logo a esfera de raio \sqrt{5} centrada em A intersecta r em dois pontos (os dois encontrados acima).