Sendo
e
matrizes quadradas de ordem
, analise as afirmativas:
I.
;
II.
;
III. Se
é uma matriz antissimétrica, então
;
IV.
se, e somente se, A e B comutam em relação ao produto;
. Se
, então
.
Quantas são verdadeiras?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
I.
II.
III. Se
IV.
Quantas são verdadeiras?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Passo 1
O enunciado dá duas matrizes quadradas de ordem
:
e
. Deve-se analisar as afirmativas abaixo e dizer quantas são verdadeiras:
I. ;\n
II. ;\n
III. Se é antissimétrica (skew-symmetric), então
;\n
IV. se, e somente se,
e
comutam (isto é,
);\n
V. Se e
, então
.\n
Informações relevantes dadas: as expressões das entradas em (V) e que . A pergunta final: quantas das afirmativas I–V são verdadeiras (escolha entre A)1, B)2, C)3, D)4, E)5).
I.
II.
III. Se
IV.
V. Se
Informações relevantes dadas: as expressões das entradas em (V) e que
Passo 2
Definição útil (aula rápida sobre traço): o traço de uma matriz quadrada
de ordem
é a soma dos elementos da diagonal principal:
Ou seja, o traço olha só os elementos
. Vamos usar essa definição para verificar a afirmativa I.
Passo 3
Análise da afirmativa I:
.\n
Por definição, . A transposta
tem entradas
, então os elementos da diagonal de
são
. Logo
Por definição,
Conclusão: a afirmativa I é verdadeira (o traço não muda ao transpor).
Passo 4
Análise da afirmativa II (linearidade do traço):
.\n
Use a definição: . Então
Use a definição:
Isso mostra a linearidade do traço. Conclusão: a afirmativa II é verdadeira.
Passo 5
Análise da afirmativa III: se
é antissimétrica (skew-symmetric), então
.\n
Definição: antissimétrica significa
, isto é,
para todos
. Em particular, para
temos
, o que implica
. Como estamos considerando matrizes sobre
(campo de característica
), isto força
para todo
. Portanto todos os elementos da diagonal são zero e
Definição:
Conclusão: a afirmativa III é verdadeira.
Passo 6
Análise da afirmativa IV:
se, e somente se,
.\n
Primeiro uma identidade geral (muito útil): para quaisquer matrizes quadradas de mesma ordem,
Primeiro uma identidade geral (muito útil): para quaisquer matrizes quadradas
Invertendo a ordem da soma:
Assim, para quaisquer
sempre vale
. Portanto a condição
não exige que
; a igualdade de traços é automática. Isso mostra que a bicondicional “se, e somente se” é falsa (a implicação direta
é verdadeira, mas a recíproca não). Para exemplificar concretamente que igualdade de traços não implica comutação, considere as matrizes
Calculando dá
e
; aqui
mas
. Conclusão: a afirmativa IV é falsa.]
Passo 7
Análise da afirmativa V: suponha
e
. Vamos calcular
.\n
Primeiro observe que depende só de
(coluna) e
depende só de
(linha). O elemento
é
Primeiro observe que
Note que essa soma não depende de
nem de
, ou seja, todos os elementos de
são iguais a essa constante. Calcule a soma:
Usando a fórmula
e
, obtemos
O traço
é a soma dos
entradas diagonais, mas como cada diagonal vale
, tem-se
Simplificando:
Fatorando o polinômio do parêntese:
Portanto
Como
, temos
,
e
, logo o produto é positivo. Conclusão: a afirmativa V é verdadeira (para todo
,
).
Passo 8
Resumo das verificações (não vou repetir a alternativa final aqui, só listar quais afirmativas são verdadeiras/ falsas):
I — verdadeira;\n
II — verdadeira;\n
III — verdadeira;\n
IV — falsa;\n
V — verdadeira.
I — verdadeira;\n
II — verdadeira;\n
III — verdadeira;\n
IV — falsa;\n
V — verdadeira.
Resposta
D) 4