Sendo A=\left(a_{i j}\right) e B=\left(b_{i j}\right) matrizes quadradas de ordem n>1, analise as afirmativas:
I. \operatorname{Tr}(A)=\operatorname{Tr}\left(A^{\top}\right);
II. \operatorname{Tr}(a A+b B)=a \operatorname{Tr}(A)+b \operatorname{Tr}(B), \forall a, b \in R;
III. Se A é uma matriz antissimétrica, então \operatorname{Tr}(A)=0;
IV. \operatorname{Tr}(\mathrm{AB})=\operatorname{Tr}(\mathrm{BA}) se, e somente se, A e B comutam em relação ao produto;
V. Se a_{i j}=1+j e b_{i j}=i-1, então \operatorname{Tr}(A B)>0.
Quantas são verdadeiras?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes quadradas de ordem n>1: A=\left(a_{ij}\right) e B=\left(b_{ij}\right). Deve-se analisar as afirmativas abaixo e dizer quantas são verdadeiras:
I. \operatorname{Tr}(A)=\operatorname{Tr}\left(A^{\top}\right);\n
II. \operatorname{Tr}(aA+bB)=a\operatorname{Tr}(A)+b\operatorname{Tr}(B),\\ \forall a,b\in\mathbb{R};\n
III. Se A é antissimétrica (skew-symmetric), então \operatorname{Tr}(A)=0;\n
IV. \operatorname{Tr}(AB)=\operatorname{Tr}(BA) se, e somente se, A e B comutam (isto é, AB=BA);\n
V. Se a_{ij}=1+j e b_{ij}=i-1, então \operatorname{Tr}(AB)>0.\n
Informações relevantes dadas: as expressões das entradas em (V) e que n>1. A pergunta final: quantas das afirmativas I–V são verdadeiras (escolha entre A)1, B)2, C)3, D)4, E)5).

Passo 2

Definição útil (aula rápida sobre traço): o traço de uma matriz quadrada M=\left(m_{ij}\right) de ordem n é a soma dos elementos da diagonal principal:
\operatorname{Tr}(M)=\sum_{i=1}^{n}m_{ii}.
Ou seja, o traço olha só os elementos m_{11},m_{22},\dots,m_{nn}. Vamos usar essa definição para verificar a afirmativa I.

Passo 3

Análise da afirmativa I: \operatorname{Tr}(A)=\operatorname{Tr}\left(A^{\top}\right).\n
Por definição, \operatorname{Tr}(A)=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}. A transposta A^{\top} tem entradas (A^{\top})_{ij}=a_{ji}, então os elementos da diagonal de A^{\top} são (A^{\top})_{ii}=a_{ii}. Logo
\operatorname{Tr}\left(A^{\top}\right)=\sum_{i=1}^{n}(A^{\top})_{ii}=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}=\operatorname{Tr}(A).
Conclusão: a afirmativa I é verdadeira (o traço não muda ao transpor).

Passo 4

Análise da afirmativa II (linearidade do traço): \operatorname{Tr}(aA+bB)=a\operatorname{Tr}(A)+b\operatorname{Tr}(B).\n
Use a definição: (aA+bB)_{ii}=a a_{ii}+b b_{ii}. Então
\operatorname{Tr}(aA+bB)=\sum_{i=1}^{n}\bigl(a a_{ii}+b b_{ii}\bigr) = a\sum_{i=1}^{n}a_{ii} + b\sum_{i=1}^{n}b_{ii} = a\operatorname{Tr}(A)+b\operatorname{Tr}(B).
Isso mostra a linearidade do traço. Conclusão: a afirmativa II é verdadeira.

Passo 5

Análise da afirmativa III: se A é antissimétrica (skew-symmetric), então \operatorname{Tr}(A)=0.\n
Definição: A antissimétrica significa A^{\top}=-A, isto é, a_{ji}=-a_{ij} para todos i,j. Em particular, para i=j temos a_{ii}=-a_{ii}, o que implica 2a_{ii}=0. Como estamos considerando matrizes sobre \mathbb{R} (campo de característica 0), isto força a_{ii}=0 para todo i. Portanto todos os elementos da diagonal são zero e
\operatorname{Tr}(A)=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}=0.
Conclusão: a afirmativa III é verdadeira.

Passo 6

Análise da afirmativa IV: \operatorname{Tr}(AB)=\operatorname{Tr}(BA) se, e somente se, AB=BA.\n
Primeiro uma identidade geral (muito útil): para quaisquer matrizes quadradas A,B de mesma ordem,
\operatorname{Tr}(AB)=\sum_{i=1}^{n}(AB)_{ii} =\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}A_{ik}B_{ki}.
Invertendo a ordem da soma:
\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}A_{ik}B_{ki}=\sum_{k=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}B_{ki}A_{ik} =\sum_{k=1}^{n}(BA)_{kk}=\operatorname{Tr}(BA).
Assim, para quaisquer A,B sempre vale \operatorname{Tr}(AB)=\operatorname{Tr}(BA). Portanto a condição \operatorname{Tr}(AB)=\operatorname{Tr}(BA) não exige que AB=BA; a igualdade de traços é automática. Isso mostra que a bicondicional “se, e somente se” é falsa (a implicação direta AB=BA\Rightarrow \operatorname{Tr}(AB)=\operatorname{Tr}(BA) é verdadeira, mas a recíproca não). Para exemplificar concretamente que igualdade de traços não implica comutação, considere as matrizes 2\times2
A=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
Calculando dá AB=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} e BA=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}; aqui AB\neq BA mas \operatorname{Tr}(AB)=1=\operatorname{Tr}(BA). Conclusão: a afirmativa IV é falsa.]

Passo 7

Análise da afirmativa V: suponha a_{ij}=1+j e b_{ij}=i-1. Vamos calcular \operatorname{Tr}(AB).\n
Primeiro observe que A_{ik}=1+k depende só de k (coluna) e B_{kj}=k-1 depende só de k (linha). O elemento (AB)_{ij} é
(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n}A_{ik}B_{kj}=\sum_{k=1}^{n}(1+k)(k-1).
Note que essa soma não depende de i nem de j, ou seja, todos os elementos de AB são iguais a essa constante. Calcule a soma:
\sum_{k=1}^{n}(1+k)(k-1)=\sum_{k=1}^{n}\bigl(k^2-1\bigr)=\sum_{k=1}^{n}k^2 - \sum_{k=1}^{n}1.
Usando a fórmula \displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} e \sum_{k=1}^{n}1=n, obtemos
S:=\sum_{k=1}^{n}(1+k)(k-1)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-n.
O traço \operatorname{Tr}(AB) é a soma dos n entradas diagonais, mas como cada diagonal vale S, tem-se
\operatorname{Tr}(AB)=nS = n\left(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-n\right).
Simplificando:
\operatorname{Tr}(AB)=\frac{n^2}{6}\bigl(2n^2+3n-5\bigr).
Fatorando o polinômio do parêntese:
2n^2+3n-5=(n-1)(2n+5).
Portanto
\operatorname{Tr}(AB)=\frac{n^2(n-1)(2n+5)}{6}.
Como n>1, temos n^2>0, (n-1)>0 e (2n+5)>0, logo o produto é positivo. Conclusão: a afirmativa V é verdadeira (para todo n>1, \operatorname{Tr}(AB)>0).

Passo 8

Resumo das verificações (não vou repetir a alternativa final aqui, só listar quais afirmativas são verdadeiras/ falsas):
I — verdadeira;\n
II — verdadeira;\n
III — verdadeira;\n
IV — falsa;\n
V — verdadeira.

Resposta

D) 4

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