Determinar a transformada inversa pedida.
L^-11s^3+5 s

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada inversa de Laplace. A gente tem que encontrar a transformada inversa de 1s^3 + 5s. Para isso, vamos precisar entender sobre transformadas de Laplace, fatoração de polinômios e frações parciais. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador s^3 + 5s. Para facilitar a resolução, é bom fatorar esse polinômio. Perceba que podemos tirar um s em comum:
s^3 + 5s = s(s^2 + 5)

Passo 3

Agora, a fração original fica:
1s(s^2 + 5)
A próxima etapa é decompor essa fração em frações parciais. Isso ajuda a simplificar a aplicação da transformada inversa. Vamos supor que:
1s(s^2 + 5) = As + Bs + Cs^2 + 5

Passo 4

Para encontrar os valores de [A), e , vamos multiplicar ambos os lados por :
Simplificando:
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Resolvendo o sistema:
  • De .
  • De , substituindo , temos .
  • .

Passo 5

Agora que temos os valores de A, B e C, substituímos na decomposição:
1s(s^2 + 5) = 15s + -15ss^2 + 5
Podemos simplificar:
15 cdot 1s - 15 cdot ss^2 + 5
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente.
Sabemos que:
L^-11s = 1
e
L^-1ss^2 + a^2 = cos(at)
No nosso caso, a = raiz5.

Passo 6

Aplicando as transformadas inversas:
L^-11s(s^2 + 5) = 15 cdot 1 - 15 cos(raiz5, t)

Resposta

L^-11s^3 + 5s = 15 (1 - cos(raiz5, t))

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