Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada inversa de Laplace. A gente tem que encontrar a transformada inversa de . Para isso, vamos precisar entender sobre transformadas de Laplace, fatoração de polinômios e frações parciais. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o denominador . Para facilitar a resolução, é bom fatorar esse polinômio. Perceba que podemos tirar um em comum:
Passo 3
Agora, a fração original fica:
A próxima etapa é decompor essa fração em frações parciais. Isso ajuda a simplificar a aplicação da transformada inversa. Vamos supor que:
Passo 4
Para encontrar os valores de [A), e , vamos multiplicar ambos os lados por :
Simplificando:
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Resolvendo o sistema:
De .
De , substituindo , temos .
.
Passo 5
Agora que temos os valores de A, B e C, substituímos na decomposição:
1s(s^2 + 5) = 15s + -15ss^2 + 5
Podemos simplificar:
15 cdot 1s - 15 cdot ss^2 + 5
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente.