Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície
; ou seja, calcule o fluxo de
através de
.
,
é a superfície do sólido que está entre os cilindros
e
e entre os planos
e
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Temos que calcular a integral de superfície
, que é o fluxo do campo vetorial
através da superfície
. A função vetorial dada é
. A superfície
é a fronteira de um sólido limitado entre os cilindros
e
, e entre os planos
e
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que nos ajuda a converter uma integral de superfície em uma integral de volume. Isso vai facilitar nossa vida!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele diz que a integral de superfície do campo vetorial
sobre uma superfície fechada
é igual à integral de volume do divergente de
sobre o volume
limitado por
. Em fórmula:
Então, nosso objetivo agora é calcular o divergente de
e depois integrar isso sobre o volume
definido pelos cilindros e planos dados.
Passo 3
Vamos calcular o divergente de
. O divergente é a soma das derivadas parciais das componentes de
em relação às suas respectivas variáveis. Ou seja:
Vamos calcular cada termo:
Então,
Passo 4
Agora que temos o divergente, precisamos configurar a integral de volume
. Observando a região
, ela está entre dois cilindros circulares com raios
e
(já que
e
), e entre os planos
e
.
Para facilitar a integração, é uma boa ideia usar coordenadas cilíndricas, onde:
E o elemento de volume
em coordenadas cilíndricas é
.
Passo 5
Vamos reescrever a integral em coordenadas cilíndricas. Primeiro, expressamos
em termos de
:
Então, o divergente se torna:
Os limites de integração são:
-
vai de a (entre os cilindros) -
vai de a (uma volta completa) -
vai de a (entre os planos)
Agora, a integral de volume fica:
Passo 6
Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Vamos calcular cada uma separadamente.
Primeira integral:
Integrando em
primeiro:
Então, a integral se torna:
Integrando em
:
Segunda integral:
Integrando em
primeiro:
Então, a integral se torna:
Integrando em
:
Passo 7
Agora, somamos as duas partes que calculamos:
Resposta
O fluxo de
através de
é
.