Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície integral duplaS F cdot d S; ou seja, calcule o fluxo de F através de S.
F(x, y, z)=x y^2 i+y z j+z x^2 k,
S é a superfície do sólido que está entre os cilindros x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4 e entre os planos z=1 e z=3

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Temos que calcular a integral de superfície integral duplaS F cdot d S, que é o fluxo do campo vetorial F através da superfície S. A função vetorial dada é F(x, y, z) = x y^2 i + y z j + z x^2 k. A superfície S é a fronteira de um sólido limitado entre os cilindros x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4, e entre os planos z=1 e z=3. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que nos ajuda a converter uma integral de superfície em uma integral de volume. Isso vai facilitar nossa vida!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele diz que a integral de superfície do campo vetorial F sobre uma superfície fechada S é igual à integral de volume do divergente de F sobre o volume V limitado por S. Em fórmula:
integral duplaS F cdot d S = integral triplaV (nabla cdot F) , dV
Então, nosso objetivo agora é calcular o divergente de F e depois integrar isso sobre o volume V definido pelos cilindros e planos dados.

Passo 3

Vamos calcular o divergente de F. O divergente é a soma das derivadas parciais das componentes de F em relação às suas respectivas variáveis. Ou seja:
nabla cdot F = partialpartial x(x y^2) + partialpartial y(y z) + partialpartial z(z x^2)
Vamos calcular cada termo:
  1. partialpartial x(x y^2) = y^2
  2. partialpartial y(y z) = z
  3. partialpartial z(z x^2) = x^2
Então,
nabla cdot F = y^2 + z + x^2

Passo 4

Agora que temos o divergente, precisamos configurar a integral de volume integral triplaV (x^2 + y^2 + z) , dV. Observando a região V, ela está entre dois cilindros circulares com raios 1 e 2 (já que x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4), e entre os planos z=1 e z=3.
Para facilitar a integração, é uma boa ideia usar coordenadas cilíndricas, onde:
  • x = r cos theta
  • y = r sin theta
  • z = z
E o elemento de volume dV em coordenadas cilíndricas é r , dr , dtheta , dz.

Passo 5

Vamos reescrever a integral em coordenadas cilíndricas. Primeiro, expressamos x^2 + y^2 em termos de r:
x^2 + y^2 = r^2
Então, o divergente se torna:
nabla cdot F = r^2 + z
Os limites de integração são:
  • r vai de 1 a 2 (entre os cilindros)
  • theta vai de 0 a 2pi (uma volta completa)
  • z vai de 1 a 3 (entre os planos)
Agora, a integral de volume fica:
integral triplaV (r^2 + z) , r , dr , dtheta , dz

Passo 6

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral triplaV r^3 , dr , dtheta , dz + integral triplaV z r , dr , dtheta , dz
Vamos calcular cada uma separadamente.
Primeira integral:
integral0^2pi integral1^2 integral1^3 r^3 , dz , dr , dtheta
Integrando em z primeiro:
integral1^3 r^3 , dz = r^3 (3 - 1) = 2 r^3
Então, a integral se torna:
2 integral0^2pi integral1^2 r^3 , dr , dtheta
Integrando em r:
2 integral0^2pi [ r^44 ]1^2 , dtheta = 2 integral0^2pi ( 164 - 14 ) , dtheta = 2 integral0^2pi 154 , dtheta = 152 integral0^2pi , dtheta = 152 cdot 2pi = 15pi
Segunda integral:
integral0^2pi integral1^2 integral1^3 z r , dz , dr , dtheta
Integrando em z primeiro:
integral1^3 z , dz = [ z^22 ]1^3 = 92 - 12 = 4
Então, a integral se torna:
4 integral0^2pi integral1^2 r , dr , dtheta
Integrando em r:
4 integral0^2pi [ r^22 ]1^2 , dtheta = 4 integral0^2pi ( 42 - 12 ) , dtheta = 4 integral0^2pi 32 , dtheta = 6 integral0^2pi , dtheta = 6 cdot 2pi = 12pi

Passo 7

Agora, somamos as duas partes que calculamos:
15pi + 12pi = 27pi

Resposta

O fluxo de F através de S é 27pi.

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