Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície
; ou seja, calcule o fluxo de
através de
.
,
é a superfície do sólido limitado pelas esferas
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial
através da superfície
, que é a parte do sólido entre as esferas de raio 2 e 3. Vamos usar o Teorema da Divergente, que relaciona a integral de superfície com uma integral de volume. Para isso, vamos precisar calcular a divergente de
e então integrar isso no volume delimitado pelas esferas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o Teorema da Divergente. Ele diz que:
Ou seja, a integral de superfície de
sobre
é igual à integral de volume da divergente de
sobre o volume
delimitado por
.
Passo 3
Vamos calcular a divergente de
. A divergente de um campo vetorial
é dada por:
Aplicando isso ao nosso
:
Passo 4
Calculando cada derivada:
-
-
-
(já que não há na expressão)
Portanto:
Passo 5
Agora, precisamos calcular a integral de volume de
sobre o sólido entre as esferas
e
. Para facilitar, vamos usar coordenadas esféricas, onde:
E o diferencial de volume é:
Passo 6
Expressando
em coordenadas esféricas:
Então, a integral de volume fica:
Simplificando:
Passo 7
Calculando as integrais internas:
-
(usando a identidade trigonométrica) -
Portanto, a integral de volume fica:
Passo 8
Calculando a integral em relação a
:
Resposta
O fluxo de
através de
é
.