Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície integral duplaS F cdot d S; ou seja, calcule o fluxo de F através de S.
F(x, y, z)=(x^3+y z) i+x^2 y j+x y^2 k,
S é a superfície do sólido limitado pelas esferas x^2+y^2+z^2=4 e x^2+y^2+z^2=9

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície , que é a parte do sólido entre as esferas de raio 2 e 3. Vamos usar o Teorema da Divergente, que relaciona a integral de superfície com uma integral de volume. Para isso, vamos precisar calcular a divergente de e então integrar isso no volume delimitado pelas esferas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o Teorema da Divergente. Ele diz que:
integral duplaS F cdot dS = integral triplaV (nabla cdot F) , dV
Ou seja, a integral de superfície de sobre é igual à integral de volume da divergente de sobre o volume delimitado por .

Passo 3

Vamos calcular a divergente de nabla cdot F = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z . A divergente de um campo vetorial nabla cdot F = partialpartial x(x^3 + y z) + partialpartial y(x^2 y) + partialpartial z(x y^2) é dada por:
Aplicando isso ao nosso :

Passo 4

Calculando cada derivada:
  1. nabla cdot F = 3x^2 + x^2 + 0 = 4x^2
  2. (já que não há na expressão)
Portanto:

Passo 5

Agora, precisamos calcular a integral de volume de x = r sintheta cosphi sobre o sólido entre as esferas y = r sintheta sinphi e z = r costheta . Para facilitar, vamos usar coordenadas esféricas, onde:
dV = r^2 sintheta , dr , dtheta , dphi
E o diferencial de volume é:

Passo 6

Expressando x^2 = r^2 sin^2theta cos^2phi em coordenadas esféricas:
integral triplaV 4x^2 , dV = 4 integralr=2^3 integraltheta=0^pi integralphi=0^2pi r^2 sin^2theta cos^2phi cdot r^2 sintheta , dphi , dtheta , dr
Então, a integral de volume fica:
4 integral2^3 r^4 ( integral0^pi sin^3theta , dtheta ) ( integral0^2pi cos^2phi , dphi ) dr
Simplificando:

Passo 7

Calculando as integrais internas:
  1. 4 cdot 43 cdot pi integral2^3 r^4 , dr = 16pi3 [ r^55 ]2^3 (usando a identidade trigonométrica)
Portanto, a integral de volume fica:

Passo 8

Calculando a integral em relação a 16pi3 ( 3^55 - 2^55 ) = 16pi15 (243 - 32) = 16pi15 cdot 211 = 3376pi15 :

Resposta

O fluxo de através de é .

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