Determinar:
A transformada de Laplace do seguinte sinal:
x(t)=integral0^t e^-2 tau cos (3 tau) d tau

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que encontrar a transformada de Laplace de um sinal que é dado por uma integral:
x(t) = integral0^t e^-2 tau cos (3 tau) d tau
Aqui, estamos trabalhando com transformadas de Laplace, que são ferramentas poderosas para resolver equações diferenciais e analisar sistemas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das propriedades da transformada de Laplace, especialmente a que relaciona a transformada de uma integral com a própria transformada da função dentro da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante da transformada de Laplace:
L integral0^t f(tau) dtau = 1s F(s)
Onde F(s) é a transformada de Laplace de f(t) . No nosso caso, f(tau) = e^-2 tau cos (3 tau) . Então, para achar Lx(t) , vamos precisar calcular F(s) = Le^-2 t cos (3 t) .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a transformada de Laplace de e^-2 t cos (3 t) . Existe uma fórmula padrão para isso:
Le^a t cos (b t) = s - a(s - a)^2 + b^2
No nosso caso, a = -2 e b = 3 . Vamos substituir esses valores na fórmula:
F(s) = s - (-2)(s - (-2))^2 + 3^2 = s + 2(s + 2)^2 + 9

Passo 4

Com F(s) encontrado, lembramos agora da propriedade que mencionei no Passo 2:
Lx(t) = 1s F(s) = 1s cdot s + 2(s + 2)^2 + 9

Passo 5

Vamos simplificar a expressão para deixar a resposta mais bonita:
Lx(t) = s + 2s [ (s + 2)^2 + 9 ]

Resposta

A transformada de Laplace do sinal x(t) é:
Lx(t) = s + 2s [ (s + 2)^2 + 9 ]

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