Determinar:
A transformada de Laplace inversa da seguinte função:
Y(s)=s+4+e^-2 ss^2+5 s+6

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar a transformada de Laplace inversa da função Y(s) = s + 4 + e^-2ss^2 + 5s + 6 . Estamos lidando com transformadas de Laplace, que fazem parte do estudo de equações diferenciais e sistemas dinâmicos. Pra resolver isso, vamos precisar usar propriedades de transformadas de Laplace inversas e decompor a fração para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador s^2 + 5s + 6 . Podemos fatorar isso:
s^2 + 5s + 6 = (s + 2)(s + 3)
Então, a função fica:
Y(s) = s + 4 + e^-2s(s + 2)(s + 3)

Passo 3

Vamos separar a função em duas partes para facilitar a inversão:
Y(s) = s + 4(s + 2)(s + 3) + e^-2s(s + 2)(s + 3)
Agora, vamos resolver cada parte separadamente.

Passo 4

Começando com a primeira parte s + 4(s + 2)(s + 3) , vamos fazer frações parciais. Queremos encontrar constantes A e B tais que:
s + 4(s + 2)(s + 3) = As + 2 + Bs + 3
Multiplicando ambos os lados por (s + 2)(s + 3) :
s + 4 = A(s + 3) + B(s + 2)
Vamos resolver para A e B . Escolhendo s = -3 :
-3 + 4 = A(0) + B(-1) Rightarrow 1 = -B Rightarrow B = -1
Escolhendo s = -2 :
-2 + 4 = A(1) + B(0) Rightarrow 2 = A Rightarrow A = 2
Então:
s + 4(s + 2)(s + 3) = 2s + 2 - 1s + 3

Passo 5

Agora, aplicando a transformada de Laplace inversa nessas frações:
L^-12s + 2 = 2e^-2t
L^-1-1s + 3 = -e^-3t
Então, a inversa da primeira parte é:
2e^-2t - e^-3t

Passo 6

Vamos agora para a segunda parte e^-2s(s + 2)(s + 3) . A presença de e^-2s indica um deslocamento no tempo. A propriedade que usamos aqui é:
L^-1e^-asF(s) = f(t - a)u(t - a)
onde u(t - a) é a função degrau de Heaviside.

Passo 7

Primeiro, encontramos a inversa de 1(s + 2)(s + 3) . Fazendo frações parciais:
1(s + 2)(s + 3) = As + 2 + Bs + 3
Resolvendo como antes:
1 = A(s + 3) + B(s + 2)
Para s = -3 :
1 = A(0) + B(-1) Rightarrow B = -1
Para s = -2 :
1 = A(1) + B(0) Rightarrow A = 1
Então:
1(s + 2)(s + 3) = 1s + 2 - 1s + 3
A transformada inversa é:
L^-11s + 2 = e^-2t e L^-11s + 3 = e^-3t
Portanto:
L^-11(s + 2)(s + 3) = e^-2t - e^-3t

Passo 8

Agora, aplicando a propriedade do deslocamento:
L^-1e^-2s(s + 2)(s + 3) = (e^-2(t - 2) - e^-3(t - 2))u(t - 2)

Resposta

Juntando as duas partes, a transformada de Laplace inversa de Y(s) é:
y(t) = 2e^-2t - e^-3t + (e^-2(t - 2) - e^-3(t - 2))u(t - 2)

Exercícios relacionados