Determinar:
A transformada de Laplace inversa da seguinte função:
A transformada de Laplace inversa da seguinte função:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar a transformada de Laplace inversa da função
. Estamos lidando com transformadas de Laplace, que fazem parte do estudo de equações diferenciais e sistemas dinâmicos. Pra resolver isso, vamos precisar usar propriedades de transformadas de Laplace inversas e decompor a fração para facilitar.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador
. Podemos fatorar isso:
Então, a função fica:
Passo 3
Vamos separar a função em duas partes para facilitar a inversão:
Agora, vamos resolver cada parte separadamente.
Passo 4
Começando com a primeira parte
, vamos fazer frações parciais. Queremos encontrar constantes
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados por
:
Vamos resolver para
e
. Escolhendo
:
Escolhendo
:
Então:
Passo 5
Agora, aplicando a transformada de Laplace inversa nessas frações:
Então, a inversa da primeira parte é:
Passo 6
Vamos agora para a segunda parte
. A presença de
indica um deslocamento no tempo. A propriedade que usamos aqui é:
onde
é a função degrau de Heaviside.
Passo 7
Primeiro, encontramos a inversa de
. Fazendo frações parciais:
Resolvendo como antes:
Para
:
Para
:
Então:
A transformada inversa é:
Portanto:
Passo 8
Agora, aplicando a propriedade do deslocamento:
Resposta
Juntando as duas partes, a transformada de Laplace inversa de
é: