Determinar o valor de cada limite expresso abaixo:
\lim _{x \longrightarrow 8} \frac{x-8}{\sqrt[3]{x}-2}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to8}\frac{x-8}{\sqrt[3]{x}-2}.
Este é um caso de indeterminação \tfrac{0}{0}, e vamos usar a fatoração de diferença de cubos para eliminar a raiz.

Passo 2

Para eliminar a raiz cúbica, fazemos a troca de variável
t = \sqrt[3]{x},
logo x = t^3 e, quando x\to8, temos t\to2. O limite vira
\lim_{t\to2}\frac{t^3-8}{t-2}.

Passo 3

Aplicamos a fatoração de diferença de cubos
t^3 - 2^3 = (t-2)\bigl(t^2 + 2t + 4\bigr).
Assim,
\frac{t^3-8}{t-2} = \frac{(t-2)\bigl(t^2+2t+4\bigr)}{t-2} = t^2 + 2t + 4,
para t\neq2.

Passo 4

Agora basta avaliar em t=2:
t^2 + 2t + 4 \Bigm|_{t=2} = 2^2 + 2\cdot2 + 4 = 4 + 4 + 4 = 12.

Resposta

12

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