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4. [ 2,5 Pontos] Calcule \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r} onde C é a curva de intersecção do parabolóide z=x^{2}+y^{2} com o plano z=x, orientada positivamente e
\vec{F}=\left\langle x^{3}-z, x y, y+z^{2}\right\rangle

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec r
onde C é a curva fechada dada pela intersecção do paraboloide z = x^2 + y^2 com o plano z=x, orientada positivamente, e
\vec{F}(x,y,z)=\bigl\langle x^{3}-z,\;x\,y,\;y+z^{2}\bigr\rangle.
Como C é curva fechada, é mais prático usar o Teorema de Stokes (ou, neste caso, a “versão de superfície” do Teorema de Green) para converter o integral de linha em integral de superfície de \nabla\times\vec F.

Passo 2

Calcule o rotacional de \vec F:
\nabla\times\vec F =\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k\\\ \tfrac{\partial}{\partial x} & \tfrac{\partial}{\partial y} & \tfrac{\partial}{\partial z}\\\ x^{3}-z & x\,y & y+z^{2} \end{vmatrix}.
Isso dá, componente a componente,
(\nabla\times\vec F)_x =\frac{\partial}{\partial y}(y+z^2)\;-\;\frac{\partial}{\partial z}(x y) =1-0=1,
(\nabla\times\vec F)_y =\frac{\partial}{\partial z}(x^3-z)\;-\;\frac{\partial}{\partial x}(y+z^2) =-1-0=-1,
(\nabla\times\vec F)_z =\frac{\partial}{\partial x}(x y)\;-\;\frac{\partial}{\partial y}(x^3-z) =y-0=y.
Logo
\nabla\times\vec F = \langle 1,\,-1,\,y\rangle.

Passo 3

Escolha como superfície S a parte do plano z=x limitada por C. Parametrize S por
\vec r(x,y)=(x,y,x),\quad (x,y)\in D,
onde D é a projeção de C no plano xy. As derivadas são
\vec r_x=(1,0,1),\quad \vec r_y=(0,1,0),
e o vetor normal orientado “para cima” é
\vec r_x\times\vec r_y =(-1,\,0,\,1).
Pelo Teorema de Stokes,
\int_{C}\vec F\cdot d\vec r =\iint_{S}(\nabla\times\vec F)\cdot d\vec S =\iint_{D}(\nabla\times\vec F)\bigl(\vec r(x,y)\bigr)\cdot\bigl(\vec r_x\times\vec r_y\bigr)\,dA.

Passo 4

Para \vec r(x,y), temos \nabla\times\vec F=(1,-1,y). Então
(\nabla\times\vec F)\cdot(\vec r_x\times\vec r_y) =\langle 1,-1,y\rangle\cdot\langle -1,0,1\rangle =-1 + y.
A região D vem da condição de C: na interseção x^2+y^2=z=x obtemos
x^2 - x + y^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \bigl(x-\tfrac12\bigr)^{2} + y^{2} = \tfrac14,
ou seja, um disco de raio \tfrac12 centrado em \bigl(\tfrac12,0\bigr).

Passo 5

Agora avaliamos
\iint_{D}(-1+y)\,dA =\iint_{D}(-1)\,dA \;+\;\iint_{D}y\,dA.
  1. \displaystyle \iint_{D}(-1)\,dA = -\,\text{Área}(D) = -\pi\bigl(\tfrac12\bigr)^{2} = -\tfrac{\pi}{4}.Á
  2. Como D é simétrico em y, \displaystyle \iint_{D}y\,dA=0.
Somando,
\int_{C}\vec F\cdot d\vec r = -\tfrac{\pi}{4}.

Resposta

-\tfrac{\pi}{4}.

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