Determinar a distribuição de frequência (x) e distribuição acumulativa (X) e construir os gráficos em função do diâmetro médio de partícula da amostra.
| Mesh | Abertura -Di(mm) | Abertura + Di ((mm)) | Massa retida (g) |
|---|---|---|---|
| -70+80 | 210 | 177 | 0 |
| -80+100 | 177 | 149 | 1,29 |
| -100+120 | 149 | 125 | 5,93 |
| -120+140 | 125 | 105 | 9,70 |
| -140+170 | 105 | 88 | 14,16 |
| -170+200 | 88 | 74 | 16,97 |
| -200+230 | 74 | 63 | 15,21 |
| -230+270 | 63 | 53 | 14,32 |
| -270+325 | 53 | 44 | 11,21 |
| -325+400 | 44 | 37 | 6,18 |
| -400 | 5,03 |
Passo 1
O enunciado dá uma análise por peneiras com a massa retida em cada classe (valores que peguei da tabela fornecida). Pede-se:
- Determinar a distribuição de frequência
em função do diâmetro médio de partícula da amostra. - Determinar a distribuição acumulativa
(vou definir explicitamente abaixo como estou calculando). - Construir os gráficos (vou fornecer os pontos prontos para traçar os gráficos).
Dados extraídos da tabela (peguei cada número da tabela que você mandou):
- Para cada classe estão as aberturas:
e (em ) e a massa retida (em ). - Observação: a última linha (malha
) não trouxe os limites de abertura; só consta a massa . Vou assumir que essa classe corresponde a partículas menores que (o valor foi o limite inferior da classe anterior), e tomar o limite inferior da amostra como para poder calcular o diâmetro médio da última classe. Vou explicitar isso na conta.
O que vou calcular:
- O diâmetro médio de cada classe
. - A frequência relativa
(fração) e também em porcentagem. - A distribuição acumulativa
definida aqui como o percentil de partículas mais finas que o diâmetro médio considerado (percentagem passando por esse tamiz): (soma das massas retidas nas classes com diâmetro médio maior ou igual à classe até aquela classe),%. Em outras palavras, é a porcentagem mais fina (finer) que o diâmetro . Essa é uma definição comum em análise por peneiras e deixo-a explícita para não haver ambiguidade.
Passo 2
Cálculo dos diâmetros médios
. Fórmula usada:
onde
e
são os dois limites de abertura da classe
(ambos em
). Para a última classe (linha 11) assumi
porque não foi fornecido limite inferior; portanto
Cálculos (mostrando cada conta):
- Classe 1:
- Classe 2:
- Classe 3:
- Classe 4:
- Classe 5:
- Classe 6:
- Classe 7:
- Classe 8:
- Classe 9:
- Classe 10:
- Classe 11:
(assunção explicada acima).
Passo 3
Cálculo da massa total e da frequência relativa
.
Primeiro a soma das massas (peguei os
da tabela):
Ou seja, o total fechou exatamente em
— ótimo, isso facilita.
Agora a frequência relativa (fração) e em porcentagem:
Como
, temos
numericamente (porcentagem igual à massa em gramas). Vou calcular para cada classe:
- Classe 1:
. - Classe 2:
. - Classe 3:
. - Classe 4:
. - Classe 5:
. - Classe 6:
. - Classe 7:
. - Classe 8:
. - Classe 9:
. - Classe 10:
. - Classe 11:
.
Resumo numérico útil (pares
e
):
-
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
.
Passo 4
Cálculo da distribuição acumulativa
(percentual mais fino que
). Vou proceder acumulando as massas desde as classes mais grossas (maior
) para as mais finas, obtendo a massa retida acumulada
até a classe
; então
Faça atenção:
é a porcentagem retida em ou acima daquela classe;
é a porcentagem mais fina que
.
Cálculos passo a passo:
Assim a distribuição acumulativa
(percentual fino que
) é:
-
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
.
Passo 5
Pontos prontos para traçar os gráficos (use esses pares no seu software de plot ou no papel milimetrado):
- Gráfico da distribuição de frequência (histograma ou pontos): eixo horizontal = diâmetro médio
(em ), eixo vertical = .
Pontos ():
Para histogramas: face cada barra centrada em
com largura igual à diferença entre os limites da classe (por ex.
para a primeira classe) ou use barras de largura proporcional às aberturas reais. Se preferir um gráfico de densidade, divida
pela largura da classe (mas só faça isso se souber interpretar densidade de tamanho).
- Gráfico da distribuição acumulativa
(curva acumulativa): eixo horizontal = (em ), eixo vertical = .
Pontos () — já calculados acima:
Dicas de plotagem:
- Em análise granulométrica é comum usar escala logarítmica no eixo
(diâmetro), porque a variação de tamanho costuma ser grande; experimente um semilog-x (log em , linear em ) para a curva acumulativa. Assim as curvas ficam mais lineares e fáceis de interpretar. - Para o histograma use as larguras das classes correspondentes às diferenças entre os limites de abertura; para a curva acumulativa conecte os pontos com linha suave.
- Se quiser extrair estatísticas (diâmetro médio ponderado, percentis como
que é o diâmetro onde , etc.), posso calcular também — por exemplo, aqui está um pouco acima de (pois e ); com interpolação linear daria um aproximado que eu posso fornecer se você quiser.
Resposta
Distribuição de frequência
(pares
):
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
Distribuição acumulativa
(pares
, onde
= percentual mais fino que
):
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,