Determinar a distribuição de frequência (x) e distribuição acumulativa (X) e construir os gráficos em função do diâmetro médio de partícula da amostra.
Mesh Abertura -Di(mm) Abertura + Di ((mm)) Massa retida (g)
-70+80 210 177 0
-80+100 177 149 1,29
-100+120 149 125 5,93
-120+140 125 105 9,70
-140+170 105 88 14,16
-170+200 88 74 16,97
-200+230 74 63 15,21
-230+270 63 53 14,32
-270+325 53 44 11,21
-325+400 44 37 6,18
-400 5,03

Passo 1

O enunciado dá uma análise por peneiras com a massa retida em cada classe (valores que peguei da tabela fornecida). Pede-se:
  • Determinar a distribuição de frequência x em função do diâmetro médio de partícula da amostra.
  • Determinar a distribuição acumulativa X (vou definir explicitamente abaixo como estou calculando).
  • Construir os gráficos (vou fornecer os pontos prontos para traçar os gráficos).
Dados extraídos da tabela (peguei cada número da tabela que você mandou):
  • Para cada classe estão as aberturas: \text{Abertura }-D_i e \text{Abertura }+D_i (em \text{mm}) e a massa retida m_i (em \text{g}).
  • Observação: a última linha (malha -400) não trouxe os limites de abertura; só consta a massa m_{11}=5{,}03\\ \text{g}. Vou assumir que essa classe corresponde a partículas menores que 37\\ \text{mm} (o valor \,37\\ \text{mm} foi o limite inferior da classe anterior), e tomar o limite inferior da amostra como 0\\ \text{mm} para poder calcular o diâmetro médio da última classe. Vou explicitar isso na conta.
O que vou calcular:
  1. O diâmetro médio de cada classe \bar{d}_i=\dfrac{D_{-i}+D_{+i}}{2}.
  2. A frequência relativa x_i=\dfrac{m_i}{M_{\rm total}} (fração) e também x_i em porcentagem.
  3. A distribuição acumulativa X_i definida aqui como o percentil de partículas mais finas que o diâmetro médio considerado (percentagem passando por esse tamiz): X_i = 100\% - (soma das massas retidas nas classes com diâmetro médio maior ou igual à classe até aquela classe),%. Em outras palavras, X_i é a porcentagem mais fina (finer) que o diâmetro \bar{d}_i. Essa é uma definição comum em análise por peneiras e deixo-a explícita para não haver ambiguidade.

Passo 2

Cálculo dos diâmetros médios \bar{d}_i. Fórmula usada:
\bar{d}_i=\dfrac{D_{-i}+D_{+i}}{2},
onde D_{-i} e D_{+i} são os dois limites de abertura da classe i (ambos em \text{mm}). Para a última classe (linha 11) assumi D_{+11}=0\\ \text{mm} porque não foi fornecido limite inferior; portanto
\bar{d}_{11}=\dfrac{37+0}{2}=18{,}5\\ \text{mm}.
Cálculos (mostrando cada conta):
  • Classe 1: \bar{d}_1=\dfrac{210+177}{2}=\dfrac{387}{2}=193{,}5\\ \text{mm}.
  • Classe 2: \bar{d}_2=\dfrac{177+149}{2}=\dfrac{326}{2}=163{,}0\\ \text{mm}.
  • Classe 3: \bar{d}_3=\dfrac{149+125}{2}=\dfrac{274}{2}=137{,}0\\ \text{mm}.
  • Classe 4: \bar{d}_4=\dfrac{125+105}{2}=\dfrac{230}{2}=115{,}0\\ \text{mm}.
  • Classe 5: \bar{d}_5=\dfrac{105+88}{2}=\dfrac{193}{2}=96{,}5\\ \text{mm}.
  • Classe 6: \bar{d}_6=\dfrac{88+74}{2}=\dfrac{162}{2}=81{,}0\\ \text{mm}.
  • Classe 7: \bar{d}_7=\dfrac{74+63}{2}=\dfrac{137}{2}=68{,}5\\ \text{mm}.
  • Classe 8: \bar{d}_8=\dfrac{63+53}{2}=\dfrac{116}{2}=58{,}0\\ \text{mm}.
  • Classe 9: \bar{d}_9=\dfrac{53+44}{2}=\dfrac{97}{2}=48{,}5\\ \text{mm}.
  • Classe 10: \bar{d}_{10}=\dfrac{44+37}{2}=\dfrac{81}{2}=40{,}5\\ \text{mm}.
  • Classe 11: \bar{d}_{11}=\dfrac{37+0}{2}=18{,}5\\ \text{mm} (assunção explicada acima).

Passo 3

Cálculo da massa total e da frequência relativa x_i.
Primeiro a soma das massas (peguei os m_i da tabela):
M_{\rm total}=\sum_{i=1}^{11} m_i = 0 + 1{,}29 + 5{,}93 + 9{,}70 + 14{,}16 + 16{,}97 + 15{,}21 + 14{,}32 + 11{,}21 + 6{,}18 + 5{,}03 = 100{,}00\\ \text{g}.
Ou seja, o total fechou exatamente em 100{,}00\\ \text{g} — ótimo, isso facilita.
Agora a frequência relativa (fração) e em porcentagem:
x_i=\dfrac{m_i}{M_{\rm total}},\qquad x_i(\%)=100\cdot x_i.
Como M_{\rm total}=100{,}00\\ \text{g}, temos x_i(\%)=m_i numericamente (porcentagem igual à massa em gramas). Vou calcular para cada classe:
  • Classe 1: m_1=0\\ \text{g}\Rightarrow x_1=0,\\ x_1(\%)=0{,}00\%.
  • Classe 2: m_2=1{,}29\\ \text{g}\Rightarrow x_2=0{,}0129,\\ x_2(\%)=1{,}29\%.
  • Classe 3: m_3=5{,}93\\ \text{g}\Rightarrow x_3=0{,}0593,\\ x_3(\%)=5{,}93\%.
  • Classe 4: m_4=9{,}70\\ \text{g}\Rightarrow x_4=0{,}0970,\\ x_4(\%)=9{,}70\%.
  • Classe 5: m_5=14{,}16\\ \text{g}\Rightarrow x_5=0{,}1416,\\ x_5(\%)=14{,}16\%.
  • Classe 6: m_6=16{,}97\\ \text{g}\Rightarrow x_6=0{,}1697,\\ x_6(\%)=16{,}97\%.
  • Classe 7: m_7=15{,}21\\ \text{g}\Rightarrow x_7=0{,}1521,\\ x_7(\%)=15{,}21\%.
  • Classe 8: m_8=14{,}32\\ \text{g}\Rightarrow x_8=0{,}1432,\\ x_8(\%)=14{,}32\%.
  • Classe 9: m_9=11{,}21\\ \text{g}\Rightarrow x_9=0{,}1121,\\ x_9(\%)=11{,}21\%.
  • Classe 10: m_{10}=6{,}18\\ \text{g}\Rightarrow x_{10}=0{,}0618,\\ x_{10}(\%)=6{,}18\%.
  • Classe 11: m_{11}=5{,}03\\ \text{g}\Rightarrow x_{11}=0{,}0503,\\ x_{11}(\%)=5{,}03\%.
Resumo numérico útil (pares \bar{d}_i e x_i(\%)):
  • \bar{d}_1=193{,}5\\ \text{mm},\\ x_1(\%)=0{,}00\%.
  • \bar{d}_2=163{,}0\\ \text{mm},\\ x_2(\%)=1{,}29\%.
  • \bar{d}_3=137{,}0\\ \text{mm},\\ x_3(\%)=5{,}93\%.
  • \bar{d}_4=115{,}0\\ \text{mm},\\ x_4(\%)=9{,}70\%.
  • \bar{d}_5=96{,}5\\ \text{mm},\\ x_5(\%)=14{,}16\%.
  • \bar{d}_6=81{,}0\\ \text{mm},\\ x_6(\%)=16{,}97\%.
  • \bar{d}_7=68{,}5\\ \text{mm},\\ x_7(\%)=15{,}21\%.
  • \bar{d}_8=58{,}0\\ \text{mm},\\ x_8(\%)=14{,}32\%.
  • \bar{d}_9=48{,}5\\ \text{mm},\\ x_9(\%)=11{,}21\%.
  • \bar{d}_{10}=40{,}5\\ \text{mm},\\ x_{10}(\%)=6{,}18\%.
  • \bar{d}_{11}=18{,}5\\ \text{mm},\\ x_{11}(\%)=5{,}03\%.

Passo 4

Cálculo da distribuição acumulativa X (percentual mais fino que \bar{d}_i). Vou proceder acumulando as massas desde as classes mais grossas (maior \bar{d}) para as mais finas, obtendo a massa retida acumulada R_i até a classe i; então
X_i(\%)=100\% - R_i(\%)\quad\text{onde}\quad R_i(\%)=\sum_{k=1}^{i} x_k(\%).
Faça atenção: R_i é a porcentagem retida em ou acima daquela classe; X_i é a porcentagem mais fina que \bar{d}_i.
Cálculos passo a passo:
  • R_1 = x_1 = 0{,}00\%\Rightarrow X_1=100{,}00\%.
  • R_2 = x_1+x_2 = 0{,}00+1{,}29=1{,}29\%\Rightarrow X_2=100{-}1{,}29=98{,}71\%.
  • R_3 = 1{,}29+5{,}93=7{,}22\%\Rightarrow X_3=92{,}78\%.
  • R_4 = 7{,}22+9{,}70=16{,}92\%\Rightarrow X_4=83{,}08\%.
  • R_5 = 16{,}92+14{,}16=31{,}08\%\Rightarrow X_5=68{,}92\%.
  • R_6 = 31{,}08+16{,}97=48{,}05\%\Rightarrow X_6=51{,}95\%.
  • R_7 = 48{,}05+15{,}21=63{,}26\%\Rightarrow X_7=36{,}74\%.
  • R_8 = 63{,}26+14{,}32=77{,}58\%\Rightarrow X_8=22{,}42\%.
  • R_9 = 77{,}58+11{,}21=88{,}79\%\Rightarrow X_9=11{,}21\%.
  • R_{10} = 88{,}79+6{,}18=94{,}97\%\Rightarrow X_{10}=5{,}03\%.
  • R_{11} = 94{,}97+5{,}03=100{,}00\%\Rightarrow X_{11}=0{,}00\%.
Assim a distribuição acumulativa X_i (percentual fino que \bar{d}_i) é:
  • \bar{d}_1=193{,}5\\ \text{mm}\Rightarrow X_1=100{,}00\%.
  • \bar{d}_2=163{,}0\\ \text{mm}\Rightarrow X_2=98{,}71\%.
  • \bar{d}_3=137{,}0\\ \text{mm}\Rightarrow X_3=92{,}78\%.
  • \bar{d}_4=115{,}0\\ \text{mm}\Rightarrow X_4=83{,}08\%.
  • \bar{d}_5=96{,}5\\ \text{mm}\Rightarrow X_5=68{,}92\%.
  • \bar{d}_6=81{,}0\\ \text{mm}\Rightarrow X_6=51{,}95\%.
  • \bar{d}_7=68{,}5\\ \text{mm}\Rightarrow X_7=36{,}74\%.
  • \bar{d}_8=58{,}0\\ \text{mm}\Rightarrow X_8=22{,}42\%.
  • \bar{d}_9=48{,}5\\ \text{mm}\Rightarrow X_9=11{,}21\%.
  • \bar{d}_{10}=40{,}5\\ \text{mm}\Rightarrow X_{10}=5{,}03\%.
  • \bar{d}_{11}=18{,}5\\ \text{mm}\Rightarrow X_{11}=0{,}00\%.

Passo 5

Pontos prontos para traçar os gráficos (use esses pares no seu software de plot ou no papel milimetrado):
  1. Gráfico da distribuição de frequência (histograma ou pontos): eixo horizontal = diâmetro médio \bar{d}_i (em \text{mm}), eixo vertical = x_i(\%).
    Pontos ( \bar{d}_i\\ \text{(mm)},\\ x_i(\%) ):
  • (193{,}5,\\\ 0{,}00)
  • (163{,}0,\\\ 1{,}29)
  • (137{,}0,\\\ 5{,}93)
  • (115{,}0,\\\ 9{,}70)
  • (96{,}5,\\\ 14{,}16)
  • (81{,}0,\\\ 16{,}97)
  • (68{,}5,\\\ 15{,}21)
  • (58{,}0,\\\ 14{,}32)
  • (48{,}5,\\\ 11{,}21)
  • (40{,}5,\\\ 6{,}18)
  • (18{,}5,\\\ 5{,}03)
Para histogramas: face cada barra centrada em \bar{d}_i com largura igual à diferença entre os limites da classe (por ex. 210-177=33\\ \text{mm} para a primeira classe) ou use barras de largura proporcional às aberturas reais. Se preferir um gráfico de densidade, divida x_i pela largura da classe (mas só faça isso se souber interpretar densidade de tamanho).
  1. Gráfico da distribuição acumulativa X (curva acumulativa): eixo horizontal = \bar{d}_i (em \text{mm}), eixo vertical = X_i(\%).
    Pontos ( \bar{d}_i\\ \text{(mm)},\\ X_i(\%) ) — já calculados acima:
  • (193{,}5,\\\ 100{,}00)
  • (163{,}0,\\\ 98{,}71)
  • (137{,}0,\\\ 92{,}78)
  • (115{,}0,\\\ 83{,}08)
  • (96{,}5,\\\ 68{,}92)
  • (81{,}0,\\\ 51{,}95)
  • (68{,}5,\\\ 36{,}74)
  • (58{,}0,\\\ 22{,}42)
  • (48{,}5,\\\ 11{,}21)
  • (40{,}5,\\\ 5{,}03)
  • (18{,}5,\\\ 0{,}00)
Dicas de plotagem:
  • Em análise granulométrica é comum usar escala logarítmica no eixo x (diâmetro), porque a variação de tamanho costuma ser grande; experimente um semilog-x (log em x, linear em y) para a curva acumulativa. Assim as curvas ficam mais lineares e fáceis de interpretar.
  • Para o histograma use as larguras das classes correspondentes às diferenças entre os limites de abertura; para a curva acumulativa conecte os pontos com linha suave.
  • Se quiser extrair estatísticas (diâmetro médio ponderado, percentis como D_{50} que é o diâmetro onde X=50\%, etc.), posso calcular também — por exemplo, aqui D_{50} está um pouco acima de 81{,}0\\ \text{mm} (pois X_6=51{,}95\% e X_7=36{,}74\%); com interpolação linear daria um D_{50} aproximado que eu posso fornecer se você quiser.

Resposta

Distribuição de frequência x (pares \bar{d}_i\\ \text{(mm)},\\ x_i(\%)):
(193{,}5,\\\ 0{,}00), (163{,}0,\\\ 1{,}29), (137{,}0,\\\ 5{,}93), (115{,}0,\\\ 9{,}70), (96{,}5,\\\ 14{,}16), (81{,}0,\\\ 16{,}97), (68{,}5,\\\ 15{,}21), (58{,}0,\\\ 14{,}32), (48{,}5,\\\ 11{,}21), (40{,}5,\\\ 6{,}18), (18{,}5,\\\ 5{,}03)
Distribuição acumulativa X (pares \bar{d}_i\\ \text{(mm)},\\ X_i(\%), onde X = percentual mais fino que \bar{d}_i):
(193{,}5,\\\ 100{,}00), (163{,}0,\\\ 98{,}71), (137{,}0,\\\ 92{,}78), (115{,}0,\\\ 83{,}08), (96{,}5,\\\ 68{,}92), (81{,}0,\\\ 51{,}95), (68{,}5,\\\ 36{,}74), (58{,}0,\\\ 22{,}42), (48{,}5,\\\ 11{,}21), (40{,}5,\\\ 5{,}03), (18{,}5,\\\ 0{,}00)

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