Determinar o valor do diâmetro médio de partícula cuja área superficial é igual à média das partículas presentes na amostra.
Mesh Abertura -Di(mm) Abertura + Di ((mm)) Massa retida (g)
-70+80 210 177 0
-80+100 177 149 1,29
-100+120 149 125 5,93
-120+140 125 105 9,70
-140+170 105 88 14,16
-170+200 88 74 16,97
-200+230 74 63 15,21
-230+270 63 53 14,32
-270+325 53 44 11,21
-325+400 44 37 6,18
-400 5,03

Passo 1

O enunciado pede: determinar o diâmetro médio de partícula cuja área superficial é igual à média das partículas da amostra (ou seja, o diâmetro médio ponderado pela área superficial).
Dados fornecidos (peguei estes números da tabela enviada):
  • Para cada classe de malha são dadas as aberturas superior e inferior (em mm) e a massa retida (em g). Os pares (abertura maior, abertura menor, massa) com massa não-nula são:
    • (177,\;149,\;1{,}29)
    • (149,\;125,\;5{,}93)
    • (125,\;105,\;9{,}70)
    • (105,\;88,\;14{,}16)
    • (88,\;74,\;16{,}97)
    • (74,\;63,\;15{,}21)
    • (63,\;53,\;14{,}32)
    • (53,\;44,\;11{,}21)
    • (44,\;37,\;6{,}18)
    • fração fina passante por 400: massa 5{,}03 (classe aberta para diâmetros menores que 37 mm).
O objetivo é calcular o diâmetro médio de superfície (também chamado de diâmetro de Sauter, D_{32}) para essa amostra usando os dados de massa por classe.

Passo 2

Conceito e fórmula útil (aula rápida e derivação curta, sem pular passos):
  • Para partículas aproximadamente esféricas, o diâmetro de Sauter D_{32} é definido por
D_{32}=\frac{\sum_{i} N_i d_i^{3}}{\sum_{i} N_i d_i^{2}},
onde N_i é o número de partículas na classe i e d_i o diâmetro representativo dessa classe. Essa definição dá o diâmetro que relaciona volume total (proporcional a d^3) e área superficial total (proporcional a d^2).
  • As massas por classe m_i fornecidas estão relacionadas ao número de partículas por
m_i = N_i \cdot \left(\frac{\pi}{6}\rho d_i^3\right),
onde \rho é a densidade do material (constante para todas as partículas). Isolando N_i e substituindo em D_{32} temos (os fatores constantes se cancelam):
D_{32}=\frac{\sum_{i} m_i}{\sum_{i} \dfrac{m_i}{d_i}}.
Essa fórmula é muito prática: usando massas por classe e um diâmetro representativo d_i para cada classe, basta calcular \sum m_i e \sum (m_i/d_i).

Passo 3

Escolha do diâmetro representativo d_i de cada classe (explicação didática):
  • Para classes definidas por limites d_{i,\text{sup}} e d_{i,\text{inf}} costuma-se usar a média geométrica
d_i=\sqrt{d_{i,\text{sup}}\;d_{i,\text{inf}}},
porque as classes de peneiras são quase logarítmicas e a média geométrica representa bem o “típico” diâmetro da classe. Vou usar essa escolha.
  • Para a classe aberta mais fina (passante por 400, sem limite inferior), preciso assumir um d representativo. Uma prática comum para a classe mais fina é adotar metade da abertura do último crivo ( d=\tfrac{d_{\text{último crivo}}}{2}ú). Aqui o último crivo tem abertura 37 (mm), então assumo
d_{\text{fina}}=\frac{37}{2}=18{,}5\\ \text{mm}.
Declaro explicitamente essa hipótese porque a classe é aberta; se o professor usar outra convenção o resultado muda um pouco.

Passo 4

Cálculo dos diâmetros representativos d_i (método: d_i=\sqrt{d_{\text{sup}}\,d_{\text{inf}}}). Peguei os valores das aberturas na tabela e calculei cada d_i:
\begin{aligned} d_1&=\sqrt{177\cdot149}=162{,}40\\ \text{mm},\\\ d_2&=\sqrt{149\cdot125}=136{,}47\\ \text{mm},\\\ d_3&=\sqrt{125\cdot105}=114{,}57\\ \text{mm},\\\ d_4&=\sqrt{105\cdot88}=96{,}12\\ \text{mm},\\\ d_5&=\sqrt{88\cdot74}=80{,}70\\ \text{mm},\\\ d_6&=\sqrt{74\cdot63}=68{,}28\\ \text{mm},\\\ d_7&=\sqrt{63\cdot53}=57{,}79\\ \text{mm},\\\ d_8&=\sqrt{53\cdot44}=48{,}29\\ \text{mm},\\\ d_9&=\sqrt{44\cdot37}=40{,}35\\ \text{mm},\\\ d_{10}&=18{,}50\\ \text{mm}\quad\text{(classe passante por 400, hipótese: }37/2\text{).} \end{aligned}ó
(Arredondei os d_i com precisão suficiente para a soma final.)

Passo 5

Cálculo de \sum m_i e \sum \dfrac{m_i}{d_i}. Usei as massas da tabela (peguei-as da coluna “Massa retida (g)”). As massas somam exatamente 100{,}00\\ \text{g} (verificação útil em análises de peneiramento):
\sum_i m_i = 1{,}29+5{,}93+9{,}70+14{,}16+16{,}97+15{,}21+14{,}32+11{,}21+6{,}18+5{,}03 = 100{,}00\\ \text{g}.
Agora calculei m_i/d_i para cada classe e somei (mostro alguns termos e o somatório):
\begin{aligned} \frac{1{,}29}{162{,}40}&\approx 0{,}00795,\\\ \frac{5{,}93}{136{,}47}&\approx 0{,}04347,\\\ \frac{9{,}70}{114{,}57}&\approx 0{,}08466,\\\ \frac{14{,}16}{96{,}12}&\approx 0{,}14734,\\\ \frac{16{,}97}{80{,}70}&\approx 0{,}21030,\\\ \frac{15{,}21}{68{,}28}&\approx 0{,}22282,\\\ \frac{14{,}32}{57{,}79}&\approx 0{,}24772,\\\ \frac{11{,}21}{48{,}29}&\approx 0{,}23213,\\\ \frac{6{,}18}{40{,}35}&\approx 0{,}15320,\\\ \frac{5{,}03}{18{,}50}&\approx 0{,}27189. \end{aligned}
Somando todos esses termos dá
\sum_i \frac{m_i}{d_i} \approx 1{,}62138\\ \text{g}\cdot\text{mm}^{-1}.

Passo 6

Aplicando a fórmula de \;D_{32}=\dfrac{\sum m_i}{\sum (m_i/d_i)}\;:
D_{32}=\frac{100{,}00}{1{,}62138}\approx 61{,}7\\ \text{mm}.
Interpretação curta: esse é o diâmetro médio de Sauter (média ponderada pela área superficial) usando as suposições relatadas (média geométrica por classe e d_{\text{fina}}=37/2). Se a convenção para a classe aberta for outra, o resultado mudará um pouco, mas essa é a forma padrão de proceder em provas e trabalhos práticos.

Resposta

\;D_{32}=61{,}7\\ \text{mm}

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