Determinar o valor do diâmetro médio de partícula cuja área superficial é igual à média das partículas presentes na amostra.
| Mesh | Abertura -Di(mm) | Abertura + Di ((mm)) | Massa retida (g) |
|---|---|---|---|
| -70+80 | 210 | 177 | 0 |
| -80+100 | 177 | 149 | 1,29 |
| -100+120 | 149 | 125 | 5,93 |
| -120+140 | 125 | 105 | 9,70 |
| -140+170 | 105 | 88 | 14,16 |
| -170+200 | 88 | 74 | 16,97 |
| -200+230 | 74 | 63 | 15,21 |
| -230+270 | 63 | 53 | 14,32 |
| -270+325 | 53 | 44 | 11,21 |
| -325+400 | 44 | 37 | 6,18 |
| -400 | 5,03 |
Passo 1
O enunciado pede: determinar o diâmetro médio de partícula cuja área superficial é igual à média das partículas da amostra (ou seja, o diâmetro médio ponderado pela área superficial).
Dados fornecidos (peguei estes números da tabela enviada):
Dados fornecidos (peguei estes números da tabela enviada):
- Para cada classe de malha são dadas as aberturas superior e inferior (em mm) e a massa retida (em g). Os pares (abertura maior, abertura menor, massa) com massa não-nula são:
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- fração fina passante por 400: massa
(classe aberta para diâmetros menores que mm).
-
O objetivo é calcular o diâmetro médio de superfície (também chamado de diâmetro de Sauter,
) para essa amostra usando os dados de massa por classe.
Passo 2
Conceito e fórmula útil (aula rápida e derivação curta, sem pular passos):
- Para partículas aproximadamente esféricas, o diâmetro de Sauter
é definido por
onde
é o número de partículas na classe
e
o diâmetro representativo dessa classe. Essa definição dá o diâmetro que relaciona volume total (proporcional a
) e área superficial total (proporcional a
).
- As massas por classe
fornecidas estão relacionadas ao número de partículas por
onde
é a densidade do material (constante para todas as partículas). Isolando
e substituindo em
temos (os fatores constantes se cancelam):
Essa fórmula é muito prática: usando massas por classe e um diâmetro representativo
para cada classe, basta calcular
e
.
Passo 3
Escolha do diâmetro representativo
de cada classe (explicação didática):
- Para classes definidas por limites
e costuma-se usar a média geométrica
porque as classes de peneiras são quase logarítmicas e a média geométrica representa bem o “típico” diâmetro da classe. Vou usar essa escolha.
- Para a classe aberta mais fina (passante por 400, sem limite inferior), preciso assumir um
representativo. Uma prática comum para a classe mais fina é adotar metade da abertura do último crivo ( ). Aqui o último crivo tem abertura (mm), então assumo
Declaro explicitamente essa hipótese porque a classe é aberta; se o professor usar outra convenção o resultado muda um pouco.
Passo 4
Cálculo dos diâmetros representativos
(método:
). Peguei os valores das aberturas na tabela e calculei cada
:
(Arredondei os
com precisão suficiente para a soma final.)
Passo 5
Cálculo de
e
. Usei as massas da tabela (peguei-as da coluna “Massa retida (g)”). As massas somam exatamente
(verificação útil em análises de peneiramento):
Agora calculei
para cada classe e somei (mostro alguns termos e o somatório):
Somando todos esses termos dá
Passo 6
Aplicando a fórmula de
:
Interpretação curta: esse é o diâmetro médio de Sauter (média ponderada pela área superficial) usando as suposições relatadas (média geométrica por classe e
). Se a convenção para a classe aberta for outra, o resultado mudará um pouco, mas essa é a forma padrão de proceder em provas e trabalhos práticos.