Como discutimos em aula, o problema da inversão de matrizes quadradas é completamente resolvido com o estudo do determinante matricial. Em cada um dos casos abaixo, obtenha o determinante e decida se a matriz em questão é inversível ou não. Em caso afirmativo, calcule a inversa
Passo 1
O enunciado dá a matriz quadrada
e pede três coisas: calcular o determinante de
, dizer se
é inversível (ou seja, se existe
) e, se for o caso, calcular a inversa explicitamente. A matriz fornecida é
Informações relevantes dadas pelo enunciado que usaremos: os elementos de
são
,
,
e
. Nada mais foi dado; a tarefa é direta com esses números.]
Passo 2
O que é determinante para uma matriz
e por que ele importa (aula rápida e prática). Para uma matriz
o determinante, escrito
, é dado pela fórmula
Explicação intuitiva e uso: o determinante é um número associado à matriz que, entre outras coisas, nos diz se a matriz é invertível. Se
, então existe
. Se
, a matriz não tem inversa. Não precisa decorar mais do que isso para 2×2: multiplica-se a diagonal principal e subtrai-se o produto da diagonal secundária.]
Passo 3
Aplicando a fórmula do determinante à matriz
. Identificamos
,
,
e
. Então
Façamos as contas passo a passo:
Portanto o determinante de
é
.
Passo 4
Decisão sobre invertibilidade com base no determinante. Como
e esse valor é diferente de zero, concluímos que
é inversível (ou seja, existe a matriz
).
Passo 5
Fórmula prática para a inversa de uma matriz
. Para
a inversa é dada por
Breve intuição: trocamos
e
, colocamos sinais negativos em
e
, e multiplicamos tudo por
. Isso é o adjugado dividido pelo determinante; para 2×2 é essa fórmula simples.]
Passo 6
Aplicando a fórmula ao caso de
. Já sabemos
. Então
Mostramos cada entrada: o elemento superior esquerdo é
; superior direito é
; inferior esquerdo é
; inferior direito é
. Como o determinante é
, não dividimos por nada mais.]
Passo 7
Verificação rápida (multiplicação para checar que realmente é a inversa). Vamos calcular
. Use as linhas de
e colunas de
.
Cálculo do elemento
:
Elemento
:
Elemento
:
Elemento
:
Portanto
que é a matriz identidade
. Isso confirma que nossa
está correta.]