Como discutimos em aula, o problema da inversão de matrizes quadradas é completamente resolvido com o estudo do determinante matricial. Em cada um dos casos abaixo, obtenha o determinante e decida se a matriz em questão é inversível ou não. Em caso afirmativo, calcule a inversa
A=\left[\begin{array}{ll}2 & 5 \\\ 1 & 3\end{array}\right] .

Passo 1

O enunciado dá a matriz quadrada A e pede três coisas: calcular o determinante de A, dizer se A é inversível (ou seja, se existe A^{-1}) e, se for o caso, calcular a inversa explicitamente. A matriz fornecida é
A=\begin{pmatrix}2 & 5 \\[4pt] 1 & 3\end{pmatrix}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado que usaremos: os elementos de A são a_{11}=2, a_{12}=5, a_{21}=1 e a_{22}=3. Nada mais foi dado; a tarefa é direta com esses números.]

Passo 2

O que é determinante para uma matriz 2\times2 e por que ele importa (aula rápida e prática). Para uma matriz
M=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix},
o determinante, escrito \det(M), é dado pela fórmula
\det(M)=ad-bc.
Explicação intuitiva e uso: o determinante é um número associado à matriz que, entre outras coisas, nos diz se a matriz é invertível. Se \det(M)\neq 0, então existe M^{-1}. Se \det(M)=0, a matriz não tem inversa. Não precisa decorar mais do que isso para 2×2: multiplica-se a diagonal principal e subtrai-se o produto da diagonal secundária.]

Passo 3

Aplicando a fórmula do determinante à matriz A. Identificamos a=2, b=5, c=1 e d=3. Então
\det(A)=a d - b c = 2\cdot 3 - 5\cdot 1.
Façamos as contas passo a passo:
2\cdot 3 = 6,
5\cdot 1 = 5,
\det(A)=6-5=1.
Portanto o determinante de A é \det(A)=1.

Passo 4

Decisão sobre invertibilidade com base no determinante. Como \det(A)=1 e esse valor é diferente de zero, concluímos que A é inversível (ou seja, existe a matriz A^{-1}).

Passo 5

Fórmula prática para a inversa de uma matriz 2\times2. Para
M=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix} \quad\text{com}\quad \det(M)\neq 0,
a inversa é dada por
M^{-1}=\frac{1}{\det(M)}\begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
Breve intuição: trocamos a e d, colocamos sinais negativos em b e c, e multiplicamos tudo por 1/\det(M). Isso é o adjugado dividido pelo determinante; para 2×2 é essa fórmula simples.]

Passo 6

Aplicando a fórmula ao caso de A. Já sabemos \det(A)=1. Então
A^{-1}=\frac{1}{1}\begin{pmatrix}3 & -5 \\[4pt] -1 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & -5 \\[4pt] -1 & 2\end{pmatrix}.
Mostramos cada entrada: o elemento superior esquerdo é d=3; superior direito é -b=-5; inferior esquerdo é -c=-1; inferior direito é a=2. Como o determinante é 1, não dividimos por nada mais.]

Passo 7

Verificação rápida (multiplicação para checar que realmente é a inversa). Vamos calcular A\cdot A^{-1}. Use as linhas de A e colunas de A^{-1}.
Cálculo do elemento (1,1):
2\cdot 3 + 5\cdot(-1) = 6-5=1.
Elemento (1,2):
2\cdot(-5) + 5\cdot 2 = -10+10=0.
Elemento (2,1):
1\cdot 3 + 3\cdot(-1) = 3-3=0.
Elemento (2,2):
1\cdot(-5) + 3\cdot 2 = -5+6=1.
Portanto
A\cdot A^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},
que é a matriz identidade I_2. Isso confirma que nossa A^{-1} está correta.]

Resposta

\det(A)=1
A é inversível.
A^{-1}=\begin{pmatrix}3 & -5 \\[4pt] -1 & 2\end{pmatrix}]

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