Use o a eliminação de Gaus - Jordan para classificar os sistemas abaixo em compatíveis e determinados, compatíveis e indeterminados ou incompatíveis
c)
\left\{\begin{array}{l}3 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}+2 x_{4}=3 \x_{1}-3 x_{3}+2 x_{4}=-1 \\\ -x_{1}+5 x_{2}+4 x_{3}=4\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o seguinte sistema linear e pede que o classifiquemos (compatível determinado, compatível indeterminado ou incompatível):
\left\{\begin{array}{l} 3x_{1}+2x_{2}+x_{3}+2x_{4}=3,\\[4pt] x_{1}-3x_{3}+2x_{4}=-1,\\[4pt] - x_{1}+5x_{2}+4x_{3}=4. \end{array}\right.
Informações relevantes que temos:
  • São 3 equações e 4 incógnitas \,x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}.
  • Precisamos usar eliminação de Gauss–Jordan (o professor pediu) para obter a forma reduzida e então decidir se há solução única, infinitas soluções ou nenhuma.
  • Nada mais é fornecido; vamos transformar o sistema em matriz aumentada e aplicar operações elementares sobre linhas.]

Passo 2

Montamos a matriz aumentada do sistema (as colunas correspondem a x_{1},x_{2},x_{3},x_{4} e a última coluna é o vetor de termos independentes):
\left[\begin{array}{cccc|c} 3 & 2 & 1 & 2 & 3\\[4pt] 1 & 0 & -3 & 2 & -1\\[4pt] -1 & 5 & 4 & 0 & 4 \end{array}\right]]

Passo 3

Queremos um pivô 1 na primeira linha; a segunda linha já tem 1 na coluna x_{1}, então trocamos R_{1} com R_{2}:
R_{1}\leftrightarrow R_{2}\quad\Rightarrow\quad \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & -3 & 2 & -1\\[4pt] 3 & 2 & 1 & 2 & 3\\[4pt] -1 & 5 & 4 & 0 & 4 \end{array}\right]]

Passo 4

Eliminamos o termo abaixo e acima do pivô da coluna x_{1}. Aqui não há acima, só abaixo.
  • R_{2}\leftarrow R_{2}-3R_{1}:
R_{2}=(3,2,1,2,3)-3(1,0,-3,2,-1)=(0,2,10,-4,6).
  • R_{3}\leftarrow R_{3}+R_{1}:
R_{3}=(-1,5,4,0,4)+(1,0,-3,2,-1)=(0,5,1,2,3).
Matriz resultante:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & -3 & 2 & -1\\[4pt] 0 & 2 & 10 & -4 & 6\\[4pt] 0 & 5 & 1 & 2 & 3 \end{array}\right]]

Passo 5

Agora usamos a segunda linha para pivotar na coluna x_{2}. Primeiro escalamos R_{2} para que o pivô seja 1:
R_{2}\leftarrow \tfrac{1}{2}R_{2} \quad\Rightarrow\quad R_{2}=(0,1,5,-2,3).
Matriz:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & -3 & 2 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 5 & -2 & 3\\[4pt] 0 & 5 & 1 & 2 & 3 \end{array}\right]]

Passo 6

Eliminamos o termo 5 na coluna x_{2} da terceira linha usando R_{3}\leftarrow R_{3}-5R_{2}:
R_{3}=(0,5,1,2,3)-5(0,1,5,-2,3)=(0,0,1-25,\,2+10,\,3-15)=(0,0,-24,12,-12).
Matriz:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & -3 & 2 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 5 & -2 & 3\\[4pt] 0 & 0 & -24 & 12 & -12 \end{array}\right]]

Passo 7

Escalamos a terceira linha para tornar o pivô da coluna x_{3} igual a 1. Dividimos R_{3} por -24:
R_{3}\leftarrow \tfrac{1}{-24}R_{3}\quad\Rightarrow\quad R_{3}=(0,0,1,-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}).
Matriz:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & -3 & 2 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 5 & -2 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \end{array}\right]]

Passo 8

Fazemos a redução acima do pivô de x_{3} (Gauss–Jordan exige zeros em toda coluna de pivô):
  • R_{2}\leftarrow R_{2}-5R_{3}:
R_{2}=(0,1,5,-2,3)-5(0,0,1,-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2})=(0,1,0,-2+ \tfrac{5}{2},\,3-\tfrac{5}{2})=(0,1,0,\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}).
  • R_{1}\leftarrow R_{1}+3R_{3}:
R_{1}=(1,0,-3,2,-1)+3(0,0,1,-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2})=(1,0,0,2-\tfrac{3}{2},-1+\tfrac{3}{2})=(1,0,0,\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}).
Matriz em forma reduzida (linha por linha):
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[6pt] 0 & 1 & 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[6pt] 0 & 0 & 1 & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \end{array}\right]]

Passo 9

Interpretação da matriz reduzida:
  • As colunas com pivô são x_{1},x_{2},x_{3}. A coluna x_{4} não tem pivô, portanto x_{4} é variável livre.
  • Chamamos a variável livre de parâmetro, por exemplo \,x_{4}=\lambda\in\mathbb{R}.
Escrevendo as equações equivalentes (cada linha traduz uma equação):
\begin{aligned} &x_{1}+\tfrac{1}{2}x_{4}=\tfrac{1}{2},\\[4pt] &x_{2}+\tfrac{1}{2}x_{4}=\tfrac{1}{2},\\[4pt] &x_{3}-\tfrac{1}{2}x_{4}=\tfrac{1}{2}. \end{aligned}
Isolando x_{1},x_{2},x_{3} em função de \lambda:
\begin{aligned} &x_{1}=\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}\lambda,\\[4pt] &x_{2}=\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}\lambda,\\[4pt] &x_{3}=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}\lambda,\\[4pt] &x_{4}=\lambda. \end{aligned}
Como existe um parâmetro livre \lambda, há infinitas soluções: o sistema é compatível e indeterminado. (Explicação curta: número de incógnitas é maior que o posto — há variáveis livres — logo infinitas soluções.)]

Resposta

compatível e indeterminado

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