Determinar o valor de k para que os pontos A=(0,0,3), B=(1,2,0), C=(5,-1,-1) e D=(2,2, k) sejam coplanares.

Passo 1

O enunciado dá quatro pontos em \mathbb{R}^3:
A=(0,0,3),\quad B=(1,2,0),\quad C=(5,-1,-1),\quad D=(2,2,k)
e pede o valor de k para que eles sejam coplanares.
Conteúdo: vetores em \mathbb{R}^3 e critério de coplanaridade via produto misto (ou seja, \vec{AB}\cdot(\vec{AC}\times\vec{AD})=0).

Passo 2

Primeiro, definimos os vetores que partem de A para os outros pontos:
\vec{AB}=B-A=(1,2,0)-(0,0,3)=(1,2,-3),
\vec{AC}=C-A=(5,-1,-1)-(0,0,3)=(5,-1,-4),
\vec{AD}=D-A=(2,2,k)-(0,0,3)=(2,2,k-3).

Passo 3

Para aplicar o produto misto, calculamos primeiro o produto vetorial \vec{AC}\times \vec{AD}.
\vec{AC}\times \vec{AD} =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 5&-1&-4\\\\ 2&2&k-3 \end{vmatrix} =\bigl(-1\,(k-3)-(-4)\,2,\;-\,\bigl(5\,(k-3)-(-4)\,2\bigr),\;5\cdot2-(-1)\cdot2\bigr).
Simplificando cada componente:
\vec{AC}\times \vec{AD} =(-k+11,\;-5k+7,\;12k).

Passo 4

Agora o produto misto é
\vec{AB}\cdot(\vec{AC}\times\vec{AD}) =(1,2,-3)\cdot(-k+11,\,-5k+7,\,12k).
Fazendo o produto escalar:
1\cdot(-k+11)+2\cdot(-5k+7)+(-3)\cdot(12k) =-k+11-10k+14-36k=-47k+25.
Para coplanaridade, esse valor deve ser zero:
-47k+25=0.

Passo 5

Resolvendo a equação:
47k=25 \quad\Longrightarrow\quad k=\frac{25}{47}.

Resposta

k=\frac{25}{47}.

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