(1,5) Determine os focos, vértices, a medida dos semi-eixos, a excentricidade, escreva a equação, e esboce o gráfico da elipse de focos F_{1}=(-4,0), F_{2}=(4,0) e eixo maior medindo 12.

Passo 1

O enunciado dá os focos F_{1}=(-4,0) e F_{2}=(4,0) e pede a elipse cujo eixo maior mede 12. O conteúdo é geometria analítica de cônicas: determinar centro, semi-eixos a,b, distância focal c, excentricidade e, equação padrão e esboço.

Passo 2

O centro C da elipse é o ponto médio dos focos:
C=\Bigl(\frac{-4+4}{2},\,0\Bigr)=(0,0).
A distância focal c é a distância de C a cada foco:
c=|4-0|=4.

Passo 3

O semi-eixo maior é metade do comprimento do eixo maior. Como o eixo maior mede 12, temos
a=\frac{12}{2}=6.

Passo 4

Na elipse vale a relação a^2=b^2+c^2. Logo,
b^2 = a^2 - c^2 = 6^2 - 4^2 = 36 - 16 = 20,
e
b = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}.

Passo 5

Os vértices estão a uma distância a do centro ao longo do eixo maior (eixo x). Assim,
V_{1}=(-6,0),\quad V_{2}=(6,0).

Passo 6

A excentricidade é
e = \frac{c}{a} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.

Passo 7

A equação padrão da elipse com centro em (0,0), eixo maior no eixo x, semi-eixos a e b é
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1.
Substituindo a^2=36 e b^2=20, obtemos
\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{20} = 1.

Resposta

Focos: F_{1}=(-4,0), F_{2}=(4,0)
Vértices: (-6,0), (6,0)
Medida dos semi-eixos: a=6, b=2\sqrt{5}
Excentricidade: e=\tfrac{2}{3}
Equação: \displaystyle \frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{20} = 1
Esboço: elipse centrada em (0,0) com vértices em (\pm6,0), co-vértices em (0,\pm2\sqrt5) e focos em (\pm4,0).

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