Determinar o valor de k para que sejam coplanares os vetores:
u=(2, k, 2) e v=(1,0, k) e w=(3,-1,1)).

Passo 1

O enunciado pede determinar o valor de k para que os vetores
u=(2,k,2), v=(1,0,k) e w=(3,-1,1) sejam coplanares.
O conteúdo principal é usar o critério de coplanaridade pelo produto misto (produto escalar de um vetor pelo produto vetorial dos outros).

Passo 2

Três vetores são coplanares se, e somente se, o produto misto for zero, isto é,
ucdot(vtimesw) = 0
Em termos de determinante, isso equivale a
det 2 & 1 & 3 k & 0 & -1 2 & k & 1 = 0

Passo 3

Vamos expandir o determinante pela primeira linha:
det 2 & 1 & 3 k & 0 & -1 2 & k & 1 = 2l(0cdot1 -(-1)cdot kr) -1l(kcdot1 -(-1)cdot2r) +3l(kcdot k -0cdot2r)
Isso dá
2(k) ;-; (k+2) ;+; 3k^2 = 3k^2 + k -2

Passo 4

Igualando a zero, obtemos a equação quadrática
3k^2 + k - 2 = 0
O discriminante é
De<a = 1^2 - 4cdot3cdot(-2) = 1 + 24 = 25

Passo 5

As raízes são
k = -1 pm raiz252cdot3 = -1 pm 56,
o que resulta em
k = 46 = 23 ou k = -66 = -1

Resposta

k = tfrac23 ou k = -1.

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