Verifique quais dos 4 axiomas de produto interno são satisfeitas pelas seguintes operações sobre os vetores boldsymbolu=(u1, ldots, un) e boldsymbolv=(v1, ldots, vn) de R^n :
lang<=u, vrang<==sumi=1^n ui vi

Passo 1

O enunciado pede para verificar quais dos quatro axiomas de produto interno são satisfeitos pela operação
lang<=u,vrang<= ;=;sumi=1^nui vi
em R^n. Os quatro axiomas são:
  1. Simetria: lang<=u,vrang<= = lang<=v,urang<=.
  2. Linearidade no primeiro argumento: lang<= au+bw,vrang<= = alang<=u,vrang<= + blang<=w,vrang<= para a,binR.
  3. Positividade: lang<=u,urang<= >= 0.
  4. Definitude: lang<=u,urang<= = 0 se, e somente se, u=0.

Passo 2

Verificamos a simetria:
lang<=u,vrang<= =sumi=1^n ui vi =sumi=1^n vi ui =lang<=v,urang<=
Logo o axioma de simetria está satisfeito.

Passo 3

Verificamos a linearidade no primeiro argumento. Tomando a,binR e vetores u,w,v,
lang<= au+bw,,vrang<= =sumi=1^nl(a ui + b wir)vi =asumi=1^n ui vi + bsumi=1^n wi vi =alang<=u,vrang<= + blang<=w,vrang<=
Portanto, o axioma de linearidade também é satisfeito.

Passo 4

Verificamos positividade e definitude.
lang<=u,urang<= =sumi=1^n ui^2>=0,
com igualdade se, e somente se, cada ui=0, isto é, u=0.
Logo satisfaz tanto positividade quanto definitude.

Resposta

Todos os quatro axiomas de produto interno são satisfeitos pela operação
lang<=u,vrang<= = sumi=1^n ui vi.

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