Verifique quais dos 4 axiomas de produto interno são satisfeitas pelas seguintes operações sobre os vetores
e
de
:
Passo 1
O enunciado pede para verificar quais dos quatro axiomas de produto interno são satisfeitos pela operação
em
. Os quatro axiomas são:
- Simetria:
. - Linearidade no primeiro argumento:
para . - Positividade:
. - Definitude:
se, e somente se, .
Passo 2
Verificamos a simetria:
Logo o axioma de simetria está satisfeito.
Passo 3
Verificamos a linearidade no primeiro argumento. Tomando
e vetores
,
Portanto, o axioma de linearidade também é satisfeito.
Passo 4
Verificamos positividade e definitude.
com igualdade se, e somente se, cada
, isto é,
.
Logo satisfaz tanto positividade quanto definitude.
Logo satisfaz tanto positividade quanto definitude.
Resposta
Todos os quatro axiomas de produto interno são satisfeitos pela operação
.