Sejam A(2,4,0), B(2,-2,0), C(-4,0,0) e D(0,0,6) vértices de um tetraedro. Calcular o volume deste tetraedro.

Passo 1

O enunciado dá quatro pontos
A(2,4,0),;B(2,-2,0),;C(-4,0,0),;D(0,0,6)
e pede o volume do tetraedro ABCD. Vamos usar geometria no espaço: calculamos a área do triângulo ABC como base e a distância de D ao plano que contém ABC como altura, depois aplicamos
Volume = área da basetimes a<ura3, á

Passo 2

Para achar a área de ABC no plano z=0, definimos
AB = B - A = (0,-6,0), AC = C - A = (-6,-4,0)
O produto vetorial dá a área do paralelogramo gerado por AB e AC:
ABtimes AC = i & j & k 0 & -6 & 0 -6 & -4 & 0 = (0,0,-36),
cuja magnitude é l|ABtimesACr|=36. Logo, a área do triângulo ABC é
área(ABC)=12times36=18 á

Passo 3

Como ABC está em z=0, a distância de D(0,0,6) a esse plano é simplesmente
a<ura=|6-0|=6

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula do volume do tetraedro:
Volume =área(ABC)times a<ura3 =18times 63 =36 á

Resposta

O volume do tetraedro é 36.

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