Sejamos pontos A=(0,1,3), B=(-1,2,3), C=(-3,1,2) e D=(-1,0,1). Ache a equação geral do plano \pi que contém as retas A B e C M, sendo M o ponto médio de B D. Obs.: Construa a equação geral de \pi considerando A \in \pi. ( 2,5 pts)
Passo 1
O enunciado pede: achar a equação geral do plano \pi que contém as retas AB e CM, sendo M o ponto médio de BD. Foi pedido também construir a equação considerando A\in\pi.
Dados fornecidos (já todos em formato numérico):
O que precisamos obter: a equação geral do plano \pi (forma ax+by+cz+d=0) que contém simultaneamente a reta que passa por A e B e a reta que passa por C e por M (onde M é o ponto médio de BD).
Passo 2
Calcular o ponto médio M de B e D. Fórmula do ponto médio entre B=(x_B,y_B,z_B) e D=(x_D,y_D,z_D):
Então os vetores diretores são u=\overrightarrow{AB}=(-1,1,0) e v=\overrightarrow{CM}=(2,0,0).
Passo 4
Explicar como verificar se duas retas em espaço estão contidas num mesmo plano. Duas retas determinam um plano se e somente se
elas se intersectam (há um ponto comum), ou
são paralelas (vetores diretores proporcionais), ou equivalentemente
os vetores \,u,v (diretores) e o vetor \,w que liga um ponto de uma reta a um ponto da outra são coplanares. Uma forma prática de testar coplanaridade é usar o produto misto (ou triplo escalar): u\cdot (v\times w)=0 se e só se u,v,w são coplanares.
Aqui escolhemos w=C-A (vetor que liga A — ponto de uma reta — a C — ponto da outra reta). Se u\cdot(v\times w)\neq 0, então as retas são “reversas” (skew) e não existe plano contendo ambas.
Passo 5
Calcular w, o produto vetorial v\times w e o produto misto u\cdot(v\times w) passo a passo.
Primeiro:
w=C-A = (-3-0,\;1-1,\;2-3)=(-3,0,-1).
Agora o produto vetorial \,v\times w. Lembrando a regra (determinante):
os vetores u,v,w não são coplanares. Isso significa que as retas AB e CM são retas reversas (skew): elas não se intersectam e não são paralelas. Consequência direta: não existe nenhum plano \pi que contenha simultaneamente as duas retas AB e CM. Portanto não há como construir uma equação geral do plano \pi que satisfaça a condição pedida — a própria configuração dos pontos impede a existência de tal plano.
Resposta
Não existe plano \pi que contenha simultaneamente as retas AB e CM (as retas são reversas; o produto misto deu 2\neq0).