Sejamos pontos A=(0,1,3), B=(-1,2,3), C=(-3,1,2) e D=(-1,0,1). Ache a equação geral do plano \pi que contém as retas A B e C M, sendo M o ponto médio de B D. Obs.: Construa a equação geral de \pi considerando A \in \pi. ( 2,5 pts)

Passo 1

O enunciado pede: achar a equação geral do plano \pi que contém as retas AB e CM, sendo M o ponto médio de BD. Foi pedido também construir a equação considerando A\in\pi.
Dados fornecidos (já todos em formato numérico):
A=(0,1,3),\quad B=(-1,2,3),\quad C=(-3,1,2),\quad D=(-1,0,1).
O que precisamos obter: a equação geral do plano \pi (forma ax+by+cz+d=0) que contém simultaneamente a reta que passa por A e B e a reta que passa por C e por M (onde M é o ponto médio de BD).

Passo 2

Calcular o ponto médio M de B e D. Fórmula do ponto médio entre B=(x_B,y_B,z_B) e D=(x_D,y_D,z_D):
M=\left(\frac{x_B+x_D}{2},\frac{y_B+y_D}{2},\frac{z_B+z_D}{2}\right).
Aplicando aos valores:
M=\left(\frac{-1+(-1)}{2},\frac{2+0}{2},\frac{3+1}{2}\right)=(-1,1,2).

Passo 3

Escrever vetores diretores das retas AB e CM. Se temos dois pontos P e Q, o vetor diretor é \overrightarrow{PQ}=Q-P.
Vetores:
\overrightarrow{AB}=B-A = (-1-0,\;2-1,\;3-3)=(-1,1,0).
\overrightarrow{CM}=M-C = (-1-(-3),\;1-1,\;2-2)=(2,0,0).
Então os vetores diretores são u=\overrightarrow{AB}=(-1,1,0) e v=\overrightarrow{CM}=(2,0,0).

Passo 4

Explicar como verificar se duas retas em espaço estão contidas num mesmo plano. Duas retas determinam um plano se e somente se
  • elas se intersectam (há um ponto comum), ou
  • são paralelas (vetores diretores proporcionais), ou equivalentemente
  • os vetores \,u,v (diretores) e o vetor \,w que liga um ponto de uma reta a um ponto da outra são coplanares. Uma forma prática de testar coplanaridade é usar o produto misto (ou triplo escalar): u\cdot (v\times w)=0 se e só se u,v,w são coplanares.
Aqui escolhemos w=C-A (vetor que liga A — ponto de uma reta — a C — ponto da outra reta). Se u\cdot(v\times w)\neq 0, então as retas são “reversas” (skew) e não existe plano contendo ambas.

Passo 5

Calcular w, o produto vetorial v\times w e o produto misto u\cdot(v\times w) passo a passo.
Primeiro:
w=C-A = (-3-0,\;1-1,\;2-3)=(-3,0,-1).
Agora o produto vetorial \,v\times w. Lembrando a regra (determinante):
v=(2,0,0),\quad w=(-3,0,-1).
v\times w = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 2 & 0 & 0 \\\\ -3 & 0 & -1 \end{vmatrix} = \bigl(0\cdot(-1)-0\cdot0,\;-(2\cdot(-1)-0\cdot(-3)),\;2\cdot0-0\cdot(-3)\bigr).
Calculando cada componente:
v\times w = (0,\; -(-2),\;0)=(0,2,0).
Finalmente o produto misto u\cdot (v\times w):
u\cdot(v\times w)=(-1,1,0)\cdot(0,2,0)=(-1)\cdot0 + 1\cdot2 + 0\cdot0 = 2.

Passo 6

Interpretar o resultado: como obtivemos
u\cdot(v\times w)=2\neq 0,
os vetores u,v,w não são coplanares. Isso significa que as retas AB e CM são retas reversas (skew): elas não se intersectam e não são paralelas. Consequência direta: não existe nenhum plano \pi que contenha simultaneamente as duas retas AB e CM. Portanto não há como construir uma equação geral do plano \pi que satisfaça a condição pedida — a própria configuração dos pontos impede a existência de tal plano.

Resposta

Não existe plano \pi que contenha simultaneamente as retas AB e CM (as retas são reversas; o produto misto deu 2\neq0).

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