Determinar o valor da(s) constante(s) para que a função seja contínua.
a) f(x)= x^3, & x <= 2 a x^2, & x>2

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)=x^3, & x<=2 a x^2, & x>2
O conteúdo usado é continuidade de funções em ponto de mudança, então precisamos garantir que os limites lateral esquerdo e direito em x=2 coincidam com o valor f(2).

Passo 2

Calcular o limite à esquerda em x=2. Como para x\le2 vale f(x)=x^3, temos
limxto2^-f(x)=limxto2^-x^3=2^3=8

Passo 3

Calcular o limite à direita em x=2. Para x>2 vale f(x)=a x^2, logo
limxto2^+f(x)=limxto2^+a x^2=acdot2^2=4a

Passo 4

Para garantir continuidade em x=2, igualamos os dois limites:
8=4a
Resolvendo, obtemos a=2.

Resposta

a = 2

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