Determinar o valor de n para que seja 30 o ângulo entre as retas r:( x-2)/4= (y+4)/5= z/3 e s: y=nx +5, z=2x-2?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o valor de $ n $ de forma que o ângulo entre as retas $ r $ e $ s $ seja de 30 graus. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente o cálculo do ângulo entre duas retas no espaço usando vetores diretores.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas $ r $ e $ s $.
Para a reta $ r $:
A equação nos mostra que o vetor diretor é $ \vec{v_r} = (4, 5, 3) $.
A equação
Para a reta $ s $:
As equações paramétricas são $ y = n x + 5 $ e $ z = 2x - 2 $. Podemos escrever $ x = t $. Assim, o vetor diretor é $ \vec{v_s} = (1, n, 2) $.
As equações paramétricas são $ y = n x + 5 $ e $ z = 2x - 2 $. Podemos escrever $ x = t $. Assim, o vetor diretor é $ \vec{v_s} = (1, n, 2) $.
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula para encontrar o ângulo $ \theta $ entre dois vetores:
Aqui, $ \vec{v_r} \cdot \vec{v_s} $ é o produto escalar dos vetores e $ |\vec{v_r}| $ e $ |\vec{v_s}| $ são as magnitudes (ou módulos) dos vetores.
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar $ \vec{v_r} \cdot \vec{v_s} $:
Passo 5
Agora, calculamos as magnitudes dos vetores:
Passo 6
Sabemos que o ângulo $ \theta $ deve ser 30 graus, então substituímos na fórmula:
Sabendo que $ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $, temos:
Passo 7
Simplificando a equação:
Multiplicando ambos os lados por $ \sqrt{2} \sqrt{n^2 + 5} $:
Passo 8
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Expandindo:
Passo 9
Rearranjando os termos:
Multiplicando por -1 para simplificar:
Passo 10
Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde $ a = 1 $, $ b = 16 $ e $ c = 1 $:
Simplificando:
Resposta
Os valores de $ n $ que satisfazem a condição são:
Aproximadamente,