Determinar o valor de n para que seja 30 o ângulo entre as retas r:( x-2)/4= (y+4)/5= z/3 e s: y=nx +5, z=2x-2?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o valor de $ n $ de forma que o ângulo entre as retas $ r $ e $ s $ seja de 30 graus. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente o cálculo do ângulo entre duas retas no espaço usando vetores diretores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas $ r $ e $ s $.
Para a reta $ r $:
A equação r nos mostra que o vetor diretor é $ \vec{v_r} = (4, 5, 3) $.
Para a reta $ s $:
As equações paramétricas são $ y = n x + 5 $ e $ z = 2x - 2 $. Podemos escrever $ x = t $. Assim, o vetor diretor é $ \vec{v_s} = (1, n, 2) $.

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula para encontrar o ângulo $ \theta $ entre dois vetores:
theta
Aqui, $ \vec{v_r} \cdot \vec{v_s} $ é o produto escalar dos vetores e $ |\vec{v_r}| $ e $ |\vec{v_s}| $ são as magnitudes (ou módulos) dos vetores.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar $ \vec{v_r} \cdot \vec{v_s} $:
vr cdot vs

Passo 5

Agora, calculamos as magnitudes dos vetores:
|vr| = raiz4^2 + 5^2 + 3^2 = raiz16 + 25 + 9 = raiz50 = 5raiz2
|vs| = raiz1^2 + n^2 + 2^2 = raiz1 + n^2 + 4 = raizn^2 + 5

Passo 6

Sabemos que o ângulo $ \theta $ deve ser 30 graus, então substituímos na fórmula:
theta
Sabendo que $ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $, temos:
cos 30^circ = 10 + 5n5raiz2 times raizn^2 + 5

Passo 7

Simplificando a equação:
raiz32 = 2 + nraiz2 raizn^2 + 5
Multiplicando ambos os lados por $ \sqrt{2} \sqrt{n^2 + 5} $:
raiz2 raizn^2 + 5

Passo 8

Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
3(n^2 + 5) = 4(2 + n)^2
Expandindo:
3n^2 + 15 = 4(4 + 4n + n^2) Rightarrow 3n^2 + 15 = 16 + 16n + 4n^2

Passo 9

Rearranjando os termos:
3n^2 + 15 - 16 - 16n - 4n^2 = 0 Rightarrow -n^2 -16n -1 = 0
Multiplicando por -1 para simplificar:
n^2 + 16n + 1 = 0

Passo 10

Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
n = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde $ a = 1 $, $ b = 16 $ e $ c = 1 $:
a = 1
Simplificando:
b = 16

Resposta

Os valores de $ n $ que satisfazem a condição são:
n
Aproximadamente,
n = -8 + 3raiz7 e n = -8 - 3raiz7

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