Se um ponto P do eixo das abscissas é equidistante dos pontos A(1, 4) e B(-6, 3), quanto vale  a abscissa de P?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra gente encontrar a abscissa (ou seja, a coordenada x) de um ponto P que está no eixo das abscissas e que está à mesma distância dos pontos A(1, 4) e B(-6, 3). Para resolver isso, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos. Se temos dois pontos, digamos $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $, a distância entre eles é dada pela fórmula:
(x1, y1)

Passo 3

Agora, como o ponto P está no eixo das abscissas, sua coordenada y é zero. Vamos chamar as coordenadas de P de $ (x, 0) $.

Passo 4

Vamos calcular a distância entre P e A usando a fórmula da distância:
dPA = raiz(1 - x)^2 + (4 - 0)^2 = raiz(1 - x)^2 + 16

Passo 5

Da mesma forma, calculamos a distância entre P e B:
dPB = raiz(-6 - x)^2 + (3 - 0)^2 = raiz(-6 - x)^2 + 9

Passo 6

Como P está equidistante de A e B, as duas distâncias são iguais. Então, podemos igualar as duas expressões:
raiz(1 - x)^2 + 16 = raiz(-6 - x)^2 + 9

Passo 7

Para resolver essa equação, vamos primeiro elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
(1 - x)^2 + 16 = (-6 - x)^2 + 9

Passo 8

Vamos expandir os quadrados:
(1 - 2x + x^2) + 16 = (36 + 12x + x^2) + 9
Simplificando:
x^2 - 2x + 17 = x^2 + 12x + 45

Passo 9

Subtraindo $ x^2 $ de ambos os lados:
x^2

Passo 10

Vamos isolar o x. Primeiro, somamos 2x em ambos os lados:
17 = 14x + 45
Depois, subtraímos 45 de ambos os lados:
-28 = 14x

Passo 11

Agora, dividimos ambos os lados por 14 para encontrar o valor de x:
x = -2814 = -2

Resposta

A abscissa de P é $ x = -2 $.

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