Se um ponto P do eixo das abscissas é equidistante dos pontos A(1, 4) e B(-6, 3), quanto vale a abscissa de P?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra gente encontrar a abscissa (ou seja, a coordenada x) de um ponto P que está no eixo das abscissas e que está à mesma distância dos pontos A(1, 4) e B(-6, 3). Para resolver isso, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos. Se temos dois pontos, digamos $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $, a distância entre eles é dada pela fórmula:
Passo 3
Agora, como o ponto P está no eixo das abscissas, sua coordenada y é zero. Vamos chamar as coordenadas de P de $ (x, 0) $.
Passo 4
Vamos calcular a distância entre P e A usando a fórmula da distância:
Passo 5
Da mesma forma, calculamos a distância entre P e B:
Passo 6
Como P está equidistante de A e B, as duas distâncias são iguais. Então, podemos igualar as duas expressões:
Passo 7
Para resolver essa equação, vamos primeiro elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 8
Vamos expandir os quadrados:
Simplificando:
Passo 9
Subtraindo $ x^2 $ de ambos os lados:
Passo 10
Vamos isolar o x. Primeiro, somamos 2x em ambos os lados:
Depois, subtraímos 45 de ambos os lados:
Passo 11
Agora, dividimos ambos os lados por 14 para encontrar o valor de x:
Resposta
A abscissa de P é $ x = -2 $.