Resolver os sistemas por escalonamento. Para sistemas com solução indeterminada, obter a resposta em forma paramétrica.
\left\{\begin{array}{l}3 x+2 y-4 z=1 \\\ x-y+z=3 \\\ x-y-3 z=-3 \\\\ 3 x+3 y-5 z=0 \\\\ -x+y+z=1\end{array}\right.

Passo 1

Temos um sistema de cinco equações lineares com três incógnitas x,y,z. O método que vamos usar é o de escalonamento (eliminação de Gauss), montando a matriz aumentada, escolhendo pivôs e zerando abaixo deles para identificar possíveis contradições.

Passo 2

Escrevendo a matriz aumentada \bigl[A\mid b\bigr] do sistema
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & -4 & 1\\\\ 1 & -1 & 1 & 3\\\\ 1 & -1 & -3 & -3\\\\ 3 & 3 & -5 & 0\\\\ -1& 1 & 1 & 1 \end{array}\right]
trocamos a linha 1 pela linha 2, para usar o pivô 1 na primeira coluna:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 3\\\\ 3 & 2 & -4 & 1\\\\ 1 & -1 & -3 & -3\\\\ 3 & 3 & -5 & 0\\\\ -1& 1 & 1 & 1 \end{array}\right].

Passo 3

Eliminamos a primeira coluna nas linhas 2 a 5 usando a linha 1 como pivô:
  • Linha 2 ← Linha 2 − 3\cdotLinha 1
  • Linha 3 ← Linha 3 − 1\cdotLinha 1
  • Linha 4 ← Linha 4 − 3\cdotLinha 1
  • Linha 5 ← Linha 5+1\cdotLinha 1
O resultado é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 3\\\\ 0 & 5 & -7 & -8\\\\ 0 & 0 & -4 & -6\\\\ 0 & 6 & -8 & -9\\\\ 0 & 0 & 2 & 4 \end{array}\right].

Passo 4

Agora olhamos para as equações das linhas 3 e 5, que envolvem apenas z:
Da linha 3:
-4z = -6 \;\implies\; z = \tfrac{-6}{-4} = \tfrac32.
Da linha 5:
2z = 4 \;\implies\; z = \tfrac{4}{2} = 2.
Esses dois resultados para z são contraditórios \tfrac32 \neq 2. Isso mostra que não há forma de satisfazer simultaneamente todas as equações do sistema.

Resposta

O sistema é incompatível, não possui solução.

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