Para o seguinte sistema linear:
\left\{\begin{array}{l}m^{2} x-y=0 \\\ x+k y=0\end{array}\right.
Determine, se existe, o valor de m em função de k de modo que o sistema:
(a) tenha solulçao única (trivial)
(b) seja impossível

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema homogêneo
\begin{cases} m^{2}x - y = 0,\\\ x + k\,y = 0, \end{cases}
onde m e k são parâmetros. O conteúdo que vamos usar é a classificação de sistemas lineares homogêneos pelo determinante da matriz de coeficientes: se o determinante for não nulo, temos única solução (a trivial x=y=0); se o determinante for zero, temos infinitas soluções, mas nunca sistema impossível, pois todo sistema homogêneo é sempre compatível.

Passo 2

Formamos a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} m^{2} & -1\\[6pt] 1 & k \end{pmatrix}
e calculamos seu determinante
\det(A) = m^{2}\cdot k - (-1)\cdot1 = m^{2}k + 1.]

Passo 3

Para que o sistema tenha solução única (trivial), precisamos de
\det(A)\neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad m^{2}k + 1 \neq 0.
Isto é, se k\neq 0, exigimos
m^{2} \neq -\tfrac{1}{k} \quad\Longleftrightarrow\quad m \neq \pm\sqrt{-\tfrac{1}{k}};
se k=0, então \det(A)=1\neq 0 para todo m, logo sempre há solução única.

Passo 4

Para que um sistema homogêneo seja impossível não basta \det(A)=0; na verdade ele jamais fica impossível, pois x=y=0 é sempre solução. Quando \det(A)=0 obtemos infinitas soluções não-triviais, mas nunca inconsistência.

Resposta

(a) O sistema tem solução única (trivial) sempre que
m^{2}k + 1 \neq 0,
ou seja, se k\neq 0, m \neq \pm\sqrt{-\tfrac{1}{k}}; se k=0, para todo m.
(b) Não existe m que torne o sistema impossível, pois sendo homogêneo ele é sempre compatível.

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