Determinar o valor de a para que o Sistema
\left\{\begin{array}{l} x+2 y+a z=1 \\\\ 2 x+a y+8 z=3 \\\ x=1 \end{array}\right.
tenha:
(c) Mais de uma solução.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} x + 2y + a z = 1,\\\\ 2x + a y + 8z = 3,\\\ x = 1, \end{cases}
que é um sistema de três equações lineares em x,y,z. O conteúdo envolvido é o estudo de determinante para verificar quando o sistema é indeterminado (infinitas soluções).

Passo 2

Como a terceira equação fixa x, substituímos x=1 nas duas primeiras:
da primeira vem
1 + 2y + a z = 1 \quad\Longrightarrow\quad 2y + a z = 0,
e da segunda
2\cdot 1 + a y + 8z = 3 \quad\Longrightarrow\quad a y + 8z = 1.
Assim sobra um sistema 2\times 2 em y,z:
\begin{cases} 2y + a z = 0,\\\ a y + 8z = 1. \end{cases}

Passo 3

Para haver infinitas soluções em y,z, o determinante da matriz dos coeficientes deve ser zero, isto é
\det\begin{pmatrix}2 & a \\\ a & 8\end{pmatrix} = 2 \cdot 8 - a^2 = 16 - a^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad a^2 = 16 \quad\Longrightarrow\quad a = 4\\ \text{ou}\\ a = -4.

Passo 4

Se a=4\), o sistema em \(y,z\) fica \[\begin{cases} 2y + 4z = 0,\\\\ 4y + 8z = 1. \end{cases}
Mas a segunda equação é o dobro da primeira no lado esquerdo, o que daria 0\] no lado direito se fosse compatível, e não \[1. Fica 0=1, impossível.
Se a=-4, o sistema é
\begin{cases} 2y - 4z = 0,\\\\ -4y + 8z = 1, \end{cases}
e de novo a segunda é -2\] vezes a primeira no lado esquerdo, levando à contradição \(0=1. Em nenhum caso as equações são compatíveis.

Resposta

Não existe valor de a que torne o sistema com mais de uma solução.

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