\begin{cases} x + 2y + a z = 1,\\\\ 2x + a y + 8z = 3,\\\ x = 1, \end{cases}
que é um sistema de três equações lineares em x,y,z. O conteúdo envolvido é o estudo de determinante para verificar quando o sistema é indeterminado (infinitas soluções).
Passo 2
Como a terceira equação fixa x, substituímos x=1 nas duas primeiras:
da primeira vem
1 + 2y + a z = 1 \quad\Longrightarrow\quad 2y + a z = 0,
e da segunda
2\cdot 1 + a y + 8z = 3 \quad\Longrightarrow\quad a y + 8z = 1.
Assim sobra um sistema 2\times 2 em y,z:
\begin{cases} 2y + a z = 0,\\\ a y + 8z = 1. \end{cases}
Passo 3
Para haver infinitas soluções em y,z, o determinante da matriz dos coeficientes deve ser zero, isto é
\det\begin{pmatrix}2 & a \\\ a & 8\end{pmatrix} = 2 \cdot 8 - a^2 = 16 - a^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad a^2 = 16 \quad\Longrightarrow\quad a = 4\\ \text{ou}\\ a = -4.
Passo 4
Se a=4\), o sistema em \(y,z\) fica
\[\begin{cases} 2y + 4z = 0,\\\\ 4y + 8z = 1. \end{cases}
Mas a segunda equação é o dobro da primeira no lado esquerdo, o que daria 0\] no lado direito se fosse compatível, e não \[1. Fica 0=1, impossível.