Determine o valor de m de modo que o Sistema Linear
\left\{\begin{array}{l} m x+3 y=12 \\\\ 4 x+y=10 \end{array}\right.
não possua solução.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema linear
\begin{cases} m\,x + 3\,y = 12,\\\\ 4\,x + y = 10 \end{cases}
e pede o valor de m para o qual não existe solução. O conteúdo matemático aqui é o estudo da compatibilidade de sistemas lineares de duas equações e duas incógnitas. Vamos usar o critério de Rouché–Frobenius, que diz que um sistema não tem solução se, e somente se, a matriz dos coeficientes e a matriz aumentada têm postos diferentes.

Passo 2

Calculamos o determinante da matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} m & 3\\\\ 4 & 1 \end{pmatrix}.
O determinante de A é
\det(A) = m\cdot1 - 3\cdot4 = m - 12.
Para que o sistema não tenha solução, precisamos que \det(A)=0, pois assim as retas são paralelas (posto de A menor que 2).

Passo 3

Da condição \det(A)=0 obtemos
m - 12 = 0 \quad\Longrightarrow\quad m = 12.

Passo 4

Com m=12\), as duas equações ficam \[\begin{cases} 12\,x + 3\,y = 12,\\\\ 4\,x + y = 10. \end{cases}
Note que a segunda é equivalente a y = 10 - 4x\] e a primeira a \(y = 4 - 4x. As retas têm o mesmo coeficiente angular ( -4) mas constantes diferentes ( 4\neq10), logo são paralelas e não se intersectam, confirmando que não há solução.

Resposta

\,m = 12\,

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