Determine os valores de a, de modo que o Sistema Linear
\left\{\begin{array}{l}x+y-z=1 \\\ 2 x+3 y+a z=3 \x+a y+3 z=2\end{array}\right.
tenha:
Solução única.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} x + y - z = 1,\\\\ 2x + 3y + a z = 3,\\\ x + a y + 3z = 2, \end{cases}
e pergunta para quais valores de a ele tem solução única. Isso é um problema de Álgebra Linear: um sistema 3\times3 tem solução única se, e somente se, a matriz dos coeficientes for invertível, ou seja, tiver determinante diferente de zero.

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\\\ 2 & 3 & a\\\\ 1 & a & 3 \end{pmatrix}
e impomos a condição
\det(A)\neq 0.

Passo 3

Calculamos \det(A) usando a regra de Sarrus ou a expansão pela primeira linha. Pela primeira linha:
\det(A) = 1\cdot\det\!\bigl(\begin{smallmatrix}3 & a\\\ a & 3\end{smallmatrix}\bigr) -1\cdot\det\!\bigl(\begin{smallmatrix}2 & a\\\\ 1 & 3\end{smallmatrix}\bigr) +(-1)\cdot\det\!\bigl(\begin{smallmatrix}2 & 3\\\\ 1 & a\end{smallmatrix}\bigr).

Passo 4

Calculando cada menor:
\det\!\begin{pmatrix}3 & a\\\ a & 3\end{pmatrix} = 3\cdot3 - a\cdot a = 9 - a^2,
\det\!\begin{pmatrix}2 & a\\\\ 1 & 3\end{pmatrix} = 2\cdot3 - a\cdot1 = 6 - a,
\det\!\begin{pmatrix}2 & 3\\\\ 1 & a\end{pmatrix} = 2\cdot a - 3\cdot1 = 2a - 3.
Substituindo:
\det(A) = (9 - a^2) - (6 - a) - (2a - 3) = 9 - a^2 - 6 + a - 2a + 3 = -a^2 - a + 6.

Passo 5

Fatorizamos \det(A):
\det(A) = -\bigl(a^2 + a -6\bigr) = -(a-2)(a+3).
Para haver solução única precisamos de \det(A)\neq0, ou seja,
(a-2)(a+3)\neq0.

Resposta

O sistema tem solução única para
a \neq 2 \quad\text{e}\quad a \neq -3.

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