Determine os valores de a e b para os quais o Sistema Linear:
(c) Possui um número infinito de soluções.
Passo 1
O enunciado apresenta o sistema linear com incógnitas x,y,z\) e parâmetros \(a,b\):
\[\begin{cases} x+y+z=1,\\\ x+2y-z=4,\\\ x+y+az=b. \end{cases}
Queremos infinitas soluções. Na álgebra linear, isso ocorre se a matriz de coeficientes for singular (\det(A)=0\]) e o sistema for consistente (\(\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(A|b)<3).
Para singularidade, impõe–se \det(A)=0, ou seja a=1.
Passo 3
Com a=1\), o sistema fica
\[\begin{cases} x+y+z=1,\\\ x+2y-z=4,\\\ x+y+z=b. \end{cases}
Para consistência com posto igual a 2, a terceira equação deve ser combinação linear das duas primeiras. De fato, notamos que ela coincide com a primeira se e somente se b=1\]. Assim, quando \(a=1 e b=1 temos \mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(A|b)=2<3, garantindo infinitas soluções.