Considere o Sistema Linear
\left\{\begin{array}{l} x+y+z=1 \\\ x+2 y-z=4 \\\ x+y+a z=b \end{array}\right.
Determine os valores de a e b para os quais o Sistema Linear:
(c) Possui um número infinito de soluções.

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear com incógnitas x,y,z\) e parâmetros \(a,b\): \[\begin{cases} x+y+z=1,\\\ x+2y-z=4,\\\ x+y+az=b. \end{cases}
Queremos infinitas soluções. Na álgebra linear, isso ocorre se a matriz de coeficientes for singular ( \det(A)=0\]) e o sistema for consistente (\(\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(A|b)<3).

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 2 & -1\\\\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}
e calculamos o determinante por desenvolvimento na primeira linha:
\det(A) =1\,(2a - (-1)\cdot1)\;-\;1\,(1\cdot a -(-1)\cdot1)\;+\;1\,(1\cdot1 -2\cdot1) =2a+1 - (a+1) -1 =a-1.
Para singularidade, impõe–se \det(A)=0, ou seja a=1.

Passo 3

Com a=1\), o sistema fica \[\begin{cases} x+y+z=1,\\\ x+2y-z=4,\\\ x+y+z=b. \end{cases}
Para consistência com posto igual a 2, a terceira equação deve ser combinação linear das duas primeiras. De fato, notamos que ela coincide com a primeira se e somente se b=1\]. Assim, quando \(a=1 e b=1 temos \mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(A|b)=2<3, garantindo infinitas soluções.

Resposta

a=1,\;b=1

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