Sejam A=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\\ 4 & 5 & 6 \\\\ 7 & 8 & 9\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 0 \\\\ 3 & 1 & 2 \\\\ -2 & 0 & -2\end{array}\right]. Calcular A B e B A.

Passo 1

O enunciado nos dá as matrizes
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 4 & 5 & 6\\\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \quad\text{e}\quad B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\\\ 3 & 1 & 2\\\\ -2 & 0 & -2 \end{pmatrix}
e pede para calcular AB e BA. O conteúdo aqui é multiplicação de matrizes, usando a definição
\text{(C)}_{ij} = \sum_{k=1}^{3} A_{ik}\,B_{kj}.

Passo 2

Vamos calcular AB. Definimos C = AB.
Para a primeira linha de C:
(C_{11},C_{12},C_{13}) = \Bigl(\sum_{k=1}^3 A_{1k}B_{k1},\,\sum_{k=1}^3 A_{1k}B_{k2},\,\sum_{k=1}^3 A_{1k}B_{k3}\Bigr) =(1+6-6,\;2+2+0,\;0+4-6)=(1,4,-2).
Para a segunda linha de C:
(C_{21},C_{22},C_{23}) =(4+15-12,\;8+5+0,\;0+10-12)=(7,13,-2).
Para a terceira linha de C:
(C_{31},C_{32},C_{33}) =(7+24-18,\;14+8+0,\;0+16-18)=(13,22,-2).
Logo,
AB = \begin{pmatrix} 1 & 4 & -2\\\\ 7 & 13 & -2\\\\ 13 & 22 & -2 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora calculamos BA. Definimos D = BA.
Para a primeira linha de D:
(D_{11},D_{12},D_{13}) =(1+8+0,\;2+10+0,\;3+12+0)=(9,12,15).
Para a segunda linha de D:
(D_{21},D_{22},D_{23}) =(3+4+14,\;6+5+16,\;9+6+18)=(21,27,33).
Para a terceira linha de D:
(D_{31},D_{32},D_{33}) =(-2+0-14,\;-4+0-16,\;-6+0-18)=(-16,-20,-24).
Logo,
BA = \begin{pmatrix} 9 & 12 & 15\\\\ 21 & 27 & 33\\\\ -16 & -20 & -24 \end{pmatrix}.

Resposta

AB = \begin{pmatrix} 1 & 4 & -2\\\\ 7 & 13 & -2\\\\ 13 & 22 & -2 \end{pmatrix}, \quad BA = \begin{pmatrix} 9 & 12 & 15\\\\ 21 & 27 & 33\\\\ -16 & -20 & -24 \end{pmatrix}.

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