Determinar os valores de a e b, tais que:
binom2 a+1b+3=binomb+2a+3

Passo 1

O enunciado pede que a gente ache inteiros a,b tais que
binom2a+1b+3 ;=;binomb+2a+3
O conteúdo aqui é coeficientes binomiais e vamos usar duas ideias principais:
  1. Para binomnk ser não nulo, é preciso 0<= k<= n.
  2. O valor binomnk é crescente em n para k fixo até um certo ponto e, em geral, só vale 1 nos casos extremos k=0 ou k=n.

Passo 2

Impondo que ambos os binomiais sejam definidos (não zero), temos:
0 ;<=; b+3 ;<=; 2a+1 Longrightarrow b <= 2a-2,
0 ;<=; a+3 ;<=; b+2 Longrightarrow b >= a+1
Logo
a+1 ;<=; b ;<=; 2a-2
Para que esse intervalo exista, precisamos de a+1<=2a-2, ou seja a>=3.

Passo 3

Vamos analisar as duas extremidades do intervalo bin[a+1,2a-2]:
  • Caso b=a+1:
    binom2a+1(a+1)+3 =binom2a+1a+4 =binom2a+1(2a+1)-(a+4) =binom2a+1a-3
    Do outro lado
    binom(a+1)+2a+3 =binoma+3a+3 =1
    Para igualar, precisamos binom2a+1a-3=1. Isso só ocorre se a-3=0 (ou seja, escolher 0 ou o total), daí a=3.
  • Caso b=2a-2:
    binom2a+1(2a-2)+3 =binom2a+12a+1 =1,
    mas
    binom(2a-2)+2a+3 =binom2aa+3,
    que para a>=3 é maior que 1. Não serve.
Nenhum outro valor de b no meio do intervalo vai dar 1 de um lado e 1 do outro, pois ambos os binomiais ficam maiores que 1.

Passo 4

Concluímos que a única possibilidade é a=3 e b=a+1=4. Vamos conferir:
binom2cdot3+14+3 ;=;binom77=1, binom4+23+3 ;=;binom66=1
Batendo certinho!

Resposta

a=3, b=4

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