Determinar os valores de a e b que tornam o sistema
\left\{\begin{array}{l} 3 x-7 y=a \\\ x+y=b \\\\ 5 x+3 y=5 a+2 b \\\\ 2 x+2 y-a+b=1 \end{array}\right.
compatível e determinado. Em seguida resolver o sistema.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) determinar os valores de a\) e \(b\) que tornam o sistema compatível e determinado; (2) resolver o sistema quando esses valores forem encontrados. As equações dadas são \[\begin{cases} 3x-7y=a,\\[4pt] x+y=b,\\[4pt] 5x+3y=5a+2b,\\[4pt] 2x+2y-a+b=1. \end{cases}
Ou seja, temos quatro equações envolvendo as incógnitas x\] e \(y e os parâmetros a,b. Vou encontrar (x,y) em função de a,b usando as duas primeiras equações e depois exigir que essas soluções satisfaçam as duas últimas equações — isso dará condições sobre a e b.]

Passo 2

Primeiro vamos resolver as duas primeiras equações
\begin{cases} 3x-7y=a,\\\ x+y=b. \end{cases}
Explicação didática do método: uma maneira simples é isolar uma variável na segunda equação e substituir na primeira (método da substituição). Outra visão útil é verificar o determinante da matriz dos coeficientes para saber se essas duas equações determinam uma solução única para x e y. A matriz de coeficientes é
\begin{pmatrix}3 & -7\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix},
e seu determinante é \det = 3\cdot 1 - (-7)\cdot 1 = 3+7=10. Como \det=10\neq0, as duas equações têm exatamente uma solução para (x,y) para quaisquer valores de a e b. Vou obter explicitamente essa solução por substituição (passo a passo).]

Passo 3

Isolo x na segunda equação:
x+y=b \quad\Rightarrow\quad x=b-y.
Substituo x=b-y na primeira equação 3x-7y=a:
3(b-y)-7y=a.
Desenvolvendo:
3b-3y-7y=a \quad\Rightarrow\quad 3b-10y=a.
Isolando y:
-10y = a-3b \quad\Rightarrow\quad y=\frac{3b-a}{10}.
Agora obtenho x usando x=b-y:
x = b - \frac{3b-a}{10} = \frac{10b-(3b-a)}{10} = \frac{7b+a}{10}.
Portanto, em função de a e b temos
x=\frac{7b+a}{10},\qquad y=\frac{3b-a}{10}.
Essas fórmulas são válidas porque já verificamos que o determinante das duas primeiras equações é não nulo.

Passo 4

Agora exigimos que a solução \big(x,y\big) encontrada satisfaça a terceira equação
5x+3y=5a+2b.
Substituo x e y:
5\left(\frac{7b+a}{10}\right)+3\left(\frac{3b-a}{10}\right)=5a+2b.
Junto os termos no numerador:
\frac{5(7b+a)+3(3b-a)}{10}=5a+2b.
Calculo o numerador:
5(7b+a)=35b+5a,\qquad 3(3b-a)=9b-3a,
logo
\frac{35b+5a+9b-3a}{10}=\frac{44b+2a}{10}.
Portanto a igualdade fica
\frac{44b+2a}{10}=5a+2b.
Multiplico ambos os lados por 10:
44b+2a=50a+20b.
Reagrupando termos ( b do lado esquerdo, a do lado direito):
44b-20b=50a-2a \quad\Rightarrow\quad 24b=48a.
Dividindo por 24:
b=2a.
Essa é a condição que a terceira equação impõe sobre a e b.

Passo 5

Agora uso a quarta equação para obter mais uma condição:
2x+2y-a+b=1.
Observação prática: 2x+2y=2(x+y)=2b (porque x+y=b é a segunda equação). Então a quarta equação fica
2b-a+b=1 \quad\Rightarrow\quad 3b-a=1.
Substituo a relação obtida no passo anterior b=2a:
3(2a)-a=1 \quad\Rightarrow\quad 6a-a=1 \quad\Rightarrow\quad 5a=1.
Assim
a=\frac{1}{5}.
E então
b=2a=2\cdot\frac{1}{5}=\frac{2}{5}.

Passo 6

Com a=\frac{1}{5} e b=\frac{2}{5} volto às fórmulas gerais para x e y:
y=\frac{3b-a}{10}=\frac{3\cdot\frac{2}{5}-\frac{1}{5}}{10}=\frac{\frac{6}{5}-\frac{1}{5}}{10}=\frac{\frac{5}{5}}{10}=\frac{1}{10},
x=\frac{7b+a}{10}=\frac{7\cdot\frac{2}{5}+\frac{1}{5}}{10}=\frac{\frac{14}{5}+\frac{1}{5}}{10}=\frac{\frac{15}{5}}{10}=\frac{3}{10}.
Faço uma verificação rápida (opcional mas boa prática):
Terceira equação: 5x+3y=5\cdot\frac{3}{10}+3\cdot\frac{1}{10}=\frac{15}{10}+\frac{3}{10}=\frac{18}{10}=\frac{9}{5}. O lado direito com a,b é 5a+2b=5\cdot\frac{1}{5}+2\cdot\frac{2}{5}=1+\frac{4}{5}=\frac{9}{5}. OK. Quarta equação: 2x+2y-a+b=2\cdot\frac{3}{10}+2\cdot\frac{1}{10}-\frac{1}{5}+\frac{2}{5}=\frac{8}{10}+\frac{1}{5}= \frac{4}{5}+\frac{1}{5}=1. OK.
Conclusão: para a=\frac{1}{5} e b=\frac{2}{5} o sistema é compatível e determinado, com solução única (x,y)=\big(\tfrac{3}{10},\tfrac{1}{10}\big).

Resposta

a=\frac{1}{5},\; b=\frac{2}{5}
x=\frac{3}{10},\; y=\frac{1}{10}

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