compatível e determinado. Em seguida resolver o sistema.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) determinar os valores de a\) e \(b\) que tornam o sistema compatível e determinado; (2) resolver o sistema quando esses valores forem encontrados.
As equações dadas são
\[\begin{cases} 3x-7y=a,\\[4pt] x+y=b,\\[4pt] 5x+3y=5a+2b,\\[4pt] 2x+2y-a+b=1. \end{cases}
Ou seja, temos quatro equações envolvendo as incógnitas x\] e \(y e os parâmetros a,b. Vou encontrar (x,y) em função de a,b usando as duas primeiras equações e depois exigir que essas soluções satisfaçam as duas últimas equações — isso dará condições sobre a e b.]
Passo 2
Primeiro vamos resolver as duas primeiras equações
\begin{cases} 3x-7y=a,\\\ x+y=b. \end{cases}
Explicação didática do método: uma maneira simples é isolar uma variável na segunda equação e substituir na primeira (método da substituição). Outra visão útil é verificar o determinante da matriz dos coeficientes para saber se essas duas equações determinam uma solução única para x e y. A matriz de coeficientes é
\begin{pmatrix}3 & -7\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix},
e seu determinante é \det = 3\cdot 1 - (-7)\cdot 1 = 3+7=10. Como \det=10\neq0, as duas equações têm exatamente uma solução para (x,y) para quaisquer valores de a e b. Vou obter explicitamente essa solução por substituição (passo a passo).]
Faço uma verificação rápida (opcional mas boa prática):
Terceira equação: 5x+3y=5\cdot\frac{3}{10}+3\cdot\frac{1}{10}=\frac{15}{10}+\frac{3}{10}=\frac{18}{10}=\frac{9}{5}. O lado direito com a,b é 5a+2b=5\cdot\frac{1}{5}+2\cdot\frac{2}{5}=1+\frac{4}{5}=\frac{9}{5}. OK. Quarta equação: 2x+2y-a+b=2\cdot\frac{3}{10}+2\cdot\frac{1}{10}-\frac{1}{5}+\frac{2}{5}=\frac{8}{10}+\frac{1}{5}= \frac{4}{5}+\frac{1}{5}=1. OK.
Conclusão: para a=\frac{1}{5} e b=\frac{2}{5} o sistema é compatível e determinado, com solução única (x,y)=\big(\tfrac{3}{10},\tfrac{1}{10}\big).