Ex. 3: Transforme as curvas dadas de coordenadas cartesianas para polares e represente-os graficamente:
y=\frac{\sqrt{3}}{3} x

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: transformar a curva dada em coordenadas cartesianas para coordenadas polares e representá-la graficamente. A curva dada é
y=\frac{\sqrt{3}}{3}\,x.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A relação entre x e y é linear (reta passando pela origem).
  • Não há outras restrições (domínio implícito: todos os x reais).
    A partir daqui vamos fazer a conversão para polares e interpretar geometricamente o resultado.

Passo 2

Lembrete importante sobre coordenadas polares (aula rápida e amigável):
  • Em coordenadas polares descrevemos um ponto por (r,\theta), onde r é a distância do ponto à origem (sempre r\ge 0 em convensão padrão) e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo.
  • A relação entre coordenadas cartesianas e polares é
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
Aqui, r e \theta são variáveis: r mede “o quanto” do raio, \theta mede a direção. Vamos usar essas fórmulas para converter a equação.

Passo 3

Substituo x e y por r\cos\theta e r\sin\theta na equação dada:
r\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{3}\, r\cos\theta.
Note que esta igualdade é verdadeira para todos os pontos da reta descrita. Temos dois casos a considerar: r=0 (o ponto origem) ou r\neq 0.

Passo 4

Se r\neq 0, posso dividir ambos os lados da igualdade por r sem problema. Fazendo isso obtenho:
\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{3}\cos\theta.
Agora divido ambos os lados por \cos\theta (assumindo \cos\theta\neq 0; se \cos\theta=0 a igualdade violaria a forma original porque seno não seria proporcional com esse coeficiente), isto dá
\tan\theta = \frac{\sqrt{3}}{3}.
Então \theta é um ângulo cujo tangente vale \frac{\sqrt{3}}{3}.

Passo 5

Calculo do ângulo: \tan\theta=\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}. Sabemos que \arctan\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{6} (30 graus). Como a tangente tem período \pi, as soluções são
\theta = \frac{\pi}{6} + k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Isto significa que a reta corresponde a todas as direções \theta iguais a \frac{\pi}{6} ou \frac{\pi}{6}+\pi (direção oposta). Também lembre que r=0 (origem) já está incluído como ponto único que satisfaz a equação inicial.

Passo 6

Interpretação polar e formas equivalentes:
  • Em polar, a reta passa pela origem e tem direção \theta=\frac{\pi}{6}. Podemos escrever a equação polar compacta como
\theta \equiv \frac{\pi}{6}\pmod{\pi},
ou dizer explicitamente \theta=\frac{\pi}{6} e \theta=\frac{\pi}{6}+\pi.
  • Outra forma prática (menos usada aqui) seria permitir r negativo e escrever simplesmente \theta=\frac{\pi}{6} com r\in\mathbb{R}; isso cobre a direção oposta por r<0. Mas a forma mais limpa e padrão é usar o módulo \pi na \theta.

Passo 7

Como verificar com um ponto concreto (exemplo didático): escolha x=1. Pela reta y=\frac{\sqrt{3}}{3}x temos y=\frac{\sqrt{3}}{3}. O raio polar desse ponto é
r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{1+\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2}=\sqrt{1+\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{4}{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}.
O ângulo \theta desse ponto satisfaz \tan\theta=\frac{y}{x}=\frac{\sqrt{3}}{3}, logo \theta=\frac{\pi}{6}. Isso confirma que pontos da reta correspondem a \theta=\frac{\pi}{6} com vários r.

Passo 8

Descrição gráfica (como desenhar no caderno, passo a passo):
  • Desenhe os eixos x e y.
  • Marque o ângulo \frac{\pi}{6} (30°) a partir do eixo x positivo.
  • Trace a reta que passa pela origem nesse ângulo e continue no sentido oposto (ou trace a mesma reta inteira, pois reta passa pela origem em ambas as direções).
  • Opcional: marque o ponto (1,\frac{\sqrt{3}}{3}) para verificar visualmente que ele está sobre essa reta.

Resposta

\theta \equiv \dfrac{\pi}{6}\pmod{\pi}
Reta passando pela origem formando ângulo \dfrac{\pi}{6} (30°) com o eixo x.

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