Determine a posição relativa entre os planos: 3 x+2 y-4 z+7=0 \quad e \quad 9 x+6 y-12 z+2=0 \quad e \quad 4 x+y-3 z+2
◯ a. Os planos são paralelos dois a dois
◯ b. Dois planos coincidem e o terceiro é paralelo a eles
◯ c. Dois dos planos são paralelos e o terceiro os intersecta segundo retas paralelas
◯ d. Os três planos coincidem
◯ e. Os três planos têm um único ponto em comum
◯ f. Os três planos se intersectam, dois a dois, segundo retas paralelas entre si
◯ g. Dois dos planos coincidem e o terceiro os intersecta ao longo de uma reta
◯ h. Os três planos são distintos e se intersectam ao longo de uma reta
Passo 1
O enunciado pede: determinar a posição relativa entre os três planos dados. As informações fornecidas são os três planos (assumo que o terceiro é igual a zero, isto é, a equação termina em =0):
P_1: 3x+2y-4z+7=0,
P_2: 9x+6y-12z+2=0,
P_3: 4x+y-3z+2=0.
A pergunta é escolher, entre as alternativas fornecidas, qual descreve corretamente como esses três planos estão posicionados entre si.
Passo 2
Conceito básico que vamos usar (explicação didática): cada plano em \mathbb{R}^3 pode ser escrito como
ax+by+cz+d=0,
onde o vetor normal ao plano é \mathbf{n}=(a,b,c). Esse vetor é perpendicular a todo vetor tangente do plano. Para comparar planos usamos duas ideias simples:
Dois planos são paralelos se e somente se seus vetores normais são proporcionais (um é múltiplo escalar do outro).
Dois planos coincidem se são paralelos e, além disso, as equações são proporcionais entre si (todos os coeficientes, inclusive o termo constante, são proporcionais pelo mesmo fator).
Se um plano não é paralelo a outro então eles se intersectam numa reta. A direção dessa reta é dada pelo produto vetorial (cross product) dos normais.
Vou aplicar essas ideias aos três planos.
Passo 3
Calculemos os vetores normais dos três planos (isso é mecânico: pego os coeficientes de x,y,z):
\mathbf{n}_1=(3,2,-4),
\mathbf{n}_2=(9,6,-12),
\mathbf{n}_3=(4,1,-3).
Agora verifico proporcionalidades entre \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2.
Passo 4
Comparando \mathbf{n}_2 com \mathbf{n}_1 vemos que cada componente de \mathbf{n}_2 é o triplo da correspondente de \mathbf{n}_1:
(9,6,-12)=3\cdot(3,2,-4).
Portanto \mathbf{n}_2 é proporcional a \mathbf{n}_1 e assim P_1 e P_2 são planos paralelos (ou coincidentes). Para decidir entre paralelos distintos ou coincidentes precisamos olhar os termos constantes.
Passo 5
Testo se P_1 e P_2 coincidem: multiplicando a equação de P_1 por 3 obtemos
3\cdot(3x+2y-4z+7)=9x+6y-12z+21=0.
A equação de P_2 é 9x+6y-12z+2=0. Como 21\neq 2, as equações não são proporcionais; logo P_1 e P_2 são planos paralelos distintos (não coincidem).
Passo 6
Agora verifiquemos se P_3 é paralelo a P_1 (ou a P_2). Para isso comparamos \mathbf{n}_3=(4,1,-3) com \mathbf{n}_1=(3,2,-4). Se fossem proporcionais, haveria um número \lambda tal que
(4,1,-3)=\lambda(3,2,-4).
Isso implicaria \lambda=\tfrac{4}{3} pela primeira coordenada, \lambda=\tfrac{1}{2} pela segunda, \lambda=\tfrac{-3}{-4}=\tfrac{3}{4} pela terceira. Esses três valores não são iguais, então não existe \lambda comum: \mathbf{n}_3 não é proporcional a \mathbf{n}_1. Portanto P_3 não é paralelo a P_1. Como \mathbf{n}_2 é múltiplo de \mathbf{n}_1, segue que P_3 também não é paralelo a P_2. Conclusão: P_3 corta os outros dois planos (pois não é paralelo a eles).
Passo 7
Intuição geométrica e resultado importante: quando um plano corta dois planos que são paralelos entre si, as interseções são duas retas e essas retas são necessariamente paralelas entre si. Explico por que de forma direta e simples: a reta de interseção entre um plano P e um plano paralelo Q tem direção perpendicular ao normal comum dos planos paralelos e também perpendicular ao normal de P; isso faz com que a direção dependa apenas da normal de P e da direção normal comum, logo se trocarmos Q por outro plano paralelo a ele a direção de interseção será a mesma — assim as retas são paralelas.
Vou demonstrar com cálculo vetorial rápido e didático para ficar cristalino.
Passo 8
A direção da reta de interseção entre dois planos é dada pelo produto vetorial (cross product) dos vetores normais. Lembrete didático sobre produto vetorial: se \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3), o produto vetorial \mathbf{u}\times\mathbf{v} é um vetor perpendicular a ambos e serve como direção da reta de interseção de planos com esses normais. Vou calcular \mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_3.
que é um múltiplo escalar de (-2,-7,-5). Isso mostra que a direção da reta P_1\cap P_3 e a direção da reta P_2\cap P_3 são proporcionais, ou seja, as duas retas são paralelas.
Passo 11
Verificação final de consistência: já estabelecemos que P_1 e P_2 são paralelos e distintos, e que P_3 não é paralelo a eles, portanto P_3 corta P_1 numa reta e corta P_2 noutra reta. Os cálculos mostram que essas duas retas têm a mesma direção (são paralelas). Também é impossível que as duas interseções coincidam numa só reta porque, se P_1 e P_2 (planos paralelos distintos) tivessem a mesma reta em comum com P_3, então P_1 e P_2 se intersectariam nessa reta (o que contradiz o fato de serem paralelos distintos). Logo as duas retas são distintas e paralelas.
Resposta
c. Dois planos são paralelos e o terceiro os intersecta segundo retas paralelas