O enunciado dá o sistema linear com incógnitas x,y,z,t\) e parâmetro \(m\):
\[\begin{cases} 2x+2y-2z=1,\\[4pt] 2x-2y-2z-3t=-1,\\[4pt] x-y+z-t=9,\\[4pt] 3x-y+z-mt=0. \end{cases}
O que nos pedem: encontrar todos os valores de m\] para os quais o sistema é determinado, isto é, para os quais o sistema tem exatamente uma solução (única solução). Informações relevantes que podemos extrair imediatamente:
\[\text{matriz dos coeficientes }A= \begin{pmatrix} 2 & 2 & -2 & 0\\[4pt] 2 & -2 & -2 & -3\\[4pt] 1 & -1 & 1 & -1\\[4pt] 3 & -1 & 1 & -m \end{pmatrix}, \qquad \text{termo independente }b=\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 9\\\ 0\end{pmatrix}.\]
O sistema terá solução única exatamente quando a matriz \(A for invertível, ou seja, quando \det(A)\neq 0. A partir daqui vamos calcular \det(A) e ver para quais m ele é diferente de zero.]
Passo 2
Estratégia escolhida (explico por que): vamos transformar A por operações elementares do tipo “subtrair múltiplo de uma linha de outra” (essas operações NÃO alteram o determinante) até obter uma matriz triangular superior. Para uma matriz triangular superior o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Assim calculamos \det(A) sem precisar fazer expansão complicada. Lembrete importante (mini-aula rápida): uma operação “L_i \leftarrow L_i - k L_j” (subtrair k vezes uma linha L_j de outra linha L_i) não muda \det(A). Trocar duas linhas muda sinal do determinante e multiplicar uma linha por escalar multiplica o determinante por esse escalar — por isso evitamos essas operações que alteram o valor (ou, se usarmos, devemos acompanhar o fator). Aqui usaremos apenas substituições do tipo acima, que preservam \det(A).
Passo 3
Escrevo A novamente e faço eliminações usando a primeira linha como pivô (sem multiplicar linha, apenas subtrair múltiplos):
Faço as operações: L_2\leftarrow L_2-L_1, L_3\leftarrow L_3-\tfrac12L_1, L_4\leftarrow L_4-\tfrac32L_1. Essas três operações não alteram \det(A). Calculando cada linha:
Agora usamos a segunda linha como pivô (elemento -4 na posição (2,2)) e eliminamos as entradas abaixo dela na coluna 2. Operações: L_3\leftarrow L_3-\tfrac{1}{2}L_2 (porque -2/(-4)=1/2) e L_4\leftarrow L_4-L_2 (porque -4/(-4)=1). Essas operações também não alteram o determinante. Calculando:
\tfrac12 L_2=(0,-2,0,-1{,}5). Então L_3-(\tfrac12L_2)=(0,-2,2,-1)-(0,-2,0,-1{,}5)=(0,0,2,0{,}5).
Usamos a terceira linha como pivô (entrada 2 na posição (3,3)) para eliminar a entrada em (4,3). Operação: L_4\leftarrow L_4-2L_3 (porque 4/2=2). Isso também não altera o determinante. Calculando:
Agora uma propriedade útil: o determinante de uma matriz triangular superior é o produto dos elementos da diagonal principal. Como todas as operações que fizemos foram do tipo “subtrair múltiplo de uma linha de outra”, elas não mudaram \det(A). Portanto
\det(A)=2\cdot(-4)\cdot 2\cdot(-m+2).
Faço a multiplicação passo a passo para ficar claro:
2\cdot(-4)=-8.
-8\cdot 2=-16.
-16\cdot(-m+2)=-16(-m+2)=16(m-2).
Portanto
\det(A)=16(m-2).
Passo 7
Conclusão lógica: o sistema terá uma única solução exatamente quando \det(A)\neq 0. Assim precisamos de
Interpretação: para qualquer m diferente de 2 a matriz dos coeficientes é invertível e o sistema é determinado (tem solução única). Para m=2 temos \det(A)=0, ou seja a matriz é singular, e então o sistema NÃO é determinado (pode ter infinitas soluções ou nenhuma — para decidir qual, precisaríamos comparar o posto da matriz aumentada, mas a questão só pedia os valores de m que tornam o sistema determinado).