Determinar os valores de m para os quais o sistema é determinado:
\left\{\begin{array}{l} 2 x+2 y-2 z=1 \\\\ 2 x-2 y-2 z-3 t=-1 \\\ x-y+z-t=9 \\\\ 3 x-y+z-m t=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com incógnitas x,y,z,t\) e parâmetro \(m\): \[\begin{cases} 2x+2y-2z=1,\\[4pt] 2x-2y-2z-3t=-1,\\[4pt] x-y+z-t=9,\\[4pt] 3x-y+z-mt=0. \end{cases}
O que nos pedem: encontrar todos os valores de m\] para os quais o sistema é determinado, isto é, para os quais o sistema tem exatamente uma solução (única solução). Informações relevantes que podemos extrair imediatamente: \[\text{matriz dos coeficientes }A= \begin{pmatrix} 2 & 2 & -2 & 0\\[4pt] 2 & -2 & -2 & -3\\[4pt] 1 & -1 & 1 & -1\\[4pt] 3 & -1 & 1 & -m \end{pmatrix}, \qquad \text{termo independente }b=\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 9\\\ 0\end{pmatrix}.\] O sistema terá solução única exatamente quando a matriz \(A for invertível, ou seja, quando \det(A)\neq 0. A partir daqui vamos calcular \det(A) e ver para quais m ele é diferente de zero.]

Passo 2

Estratégia escolhida (explico por que): vamos transformar A por operações elementares do tipo “subtrair múltiplo de uma linha de outra” (essas operações NÃO alteram o determinante) até obter uma matriz triangular superior. Para uma matriz triangular superior o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Assim calculamos \det(A) sem precisar fazer expansão complicada. Lembrete importante (mini-aula rápida): uma operação “L_i \leftarrow L_i - k L_j” (subtrair k vezes uma linha L_j de outra linha L_i) não muda \det(A). Trocar duas linhas muda sinal do determinante e multiplicar uma linha por escalar multiplica o determinante por esse escalar — por isso evitamos essas operações que alteram o valor (ou, se usarmos, devemos acompanhar o fator). Aqui usaremos apenas substituições do tipo acima, que preservam \det(A).

Passo 3

Escrevo A novamente e faço eliminações usando a primeira linha como pivô (sem multiplicar linha, apenas subtrair múltiplos):
A=\begin{pmatrix} 2 & 2 & -2 & 0\\[4pt] 2 & -2 & -2 & -3\\[4pt] 1 & -1 & 1 & -1\\[4pt] 3 & -1 & 1 & -m \end{pmatrix}.
Faço as operações: L_2\leftarrow L_2-L_1, L_3\leftarrow L_3-\tfrac12L_1, L_4\leftarrow L_4-\tfrac32L_1. Essas três operações não alteram \det(A). Calculando cada linha:
  • L_2: (2,-2,-2,-3)-(2,2,-2,0)=(0,-4,0,-3).
  • L_3: (1,-1,1,-1)-\tfrac12(2,2,-2,0)=(0,-2,2,-1).
  • L_4: (3,-1,1,-m)-\tfrac32(2,2,-2,0)=(0,-4,4,-m).
A matriz vira
A_1=\begin{pmatrix} 2 & 2 & -2 & 0\\[4pt] 0 & -4 & 0 & -3\\[4pt] 0 & -2 & 2 & -1\\[4pt] 0 & -4 & 4 & -m \end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora usamos a segunda linha como pivô (elemento -4 na posição (2,2)) e eliminamos as entradas abaixo dela na coluna 2. Operações: L_3\leftarrow L_3-\tfrac{1}{2}L_2 (porque -2/(-4)=1/2) e L_4\leftarrow L_4-L_2 (porque -4/(-4)=1). Essas operações também não alteram o determinante. Calculando:
  • \tfrac12 L_2=(0,-2,0,-1{,}5). Então L_3-(\tfrac12L_2)=(0,-2,2,-1)-(0,-2,0,-1{,}5)=(0,0,2,0{,}5).
  • L_4-L_2=(0,-4,4,-m)-(0,-4,0,-3)=(0,0,4,-m+3).
A matriz fica
A_2=\begin{pmatrix} 2 & 2 & -2 & 0\\[4pt] 0 & -4 & 0 & -3\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 0{,}5\\[4pt] 0 & 0 & 4 & -m+3 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Usamos a terceira linha como pivô (entrada 2 na posição (3,3)) para eliminar a entrada em (4,3). Operação: L_4\leftarrow L_4-2L_3 (porque 4/2=2). Isso também não altera o determinante. Calculando:
  • 2L_3=(0,0,4,1).
  • L_4-2L_3=(0,0,4,-m+3)-(0,0,4,1)=(0,0,0,-m+2).
Assim obtemos a forma triangular superior
A_3=\begin{pmatrix} 2 & 2 & -2 & 0\\[4pt] 0 & -4 & 0 & -3\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 0{,}5\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -m+2 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora uma propriedade útil: o determinante de uma matriz triangular superior é o produto dos elementos da diagonal principal. Como todas as operações que fizemos foram do tipo “subtrair múltiplo de uma linha de outra”, elas não mudaram \det(A). Portanto
\det(A)=2\cdot(-4)\cdot 2\cdot(-m+2).
Faço a multiplicação passo a passo para ficar claro:
  • 2\cdot(-4)=-8.
  • -8\cdot 2=-16.
  • -16\cdot(-m+2)=-16(-m+2)=16(m-2).
Portanto
\det(A)=16(m-2).

Passo 7

Conclusão lógica: o sistema terá uma única solução exatamente quando \det(A)\neq 0. Assim precisamos de
16(m-2)\neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad m-2\neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad m\neq 2.
Interpretação: para qualquer m diferente de 2 a matriz dos coeficientes é invertível e o sistema é determinado (tem solução única). Para m=2 temos \det(A)=0, ou seja a matriz é singular, e então o sistema NÃO é determinado (pode ter infinitas soluções ou nenhuma — para decidir qual, precisaríamos comparar o posto da matriz aumentada, mas a questão só pedia os valores de m que tornam o sistema determinado).

Resposta

m\neq 2

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