Determinar os valores de
para os quais a EDO dada tem soluções da forma
para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os valores de $ r $ que fazem com que a Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada tenha soluções da forma $ y = t^{r} $ para $ t > 0 $. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre EDOs de coeficientes variáveis e substituir a solução proposta na equação para descobrir quais valores de $ r $ funcionam.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução tem a forma $ y = t^{r} $. Agora, precisamos calcular as derivadas dessa função, porque a EDO envolve a primeira e a segunda derivada de $ y $ em relação a $ t $.
A primeira derivada de $ y $ é:
A segunda derivada de $ y $ é:
Passo 3
Agora, vamos substituir $ y $, $ \frac{dy}{dt} $ e $ \frac{d{2}y}{dt{2}} $ na EDO original:
Substituindo:
Passo 4
Vamos simplificar cada termo:
Então, a equação fica:
Passo 5
Fatoramos $ t^{r} $ da equação:
Como $ t^{r} $ não é zero para $ t > 0 $, podemos dividir ambos os lados por $ t^{r} $, ficando:
Passo 6
Vamos expandir e simplificar a equação quadrática:
Passo 7
Agora, resolvemos a equação quadrática $ 3 r^{2} + 2 r - 2 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
Onde $ a = 3 $, $ b = 2 $ e $ c = -2 $:
Simplificando a raiz:
Então:
Resposta
Os valores de $ r $ são: