Determinar os valores de r para os quais a EDO dada tem soluções da forma y=t^r para t>0.
3 t^2 d^2 yd t^2+5 t d yd t-2 y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os valores de $ r $ que fazem com que a Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada tenha soluções da forma $ y = t^{r} $ para $ t > 0 $. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre EDOs de coeficientes variáveis e substituir a solução proposta na equação para descobrir quais valores de $ r $ funcionam.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução tem a forma $ y = t^{r} $. Agora, precisamos calcular as derivadas dessa função, porque a EDO envolve a primeira e a segunda derivada de $ y $ em relação a $ t $.
A primeira derivada de $ y $ é:
y = t^r
A segunda derivada de $ y $ é:
y

Passo 3

Agora, vamos substituir $ y $, $ \frac{dy}{dt} $ e $ \frac{d{2}y}{dt{2}} $ na EDO original:
y
Substituindo:
dydt

Passo 4

Vamos simplificar cada termo:
3 r (r - 1) t^2 cdot t^r - 2 = 3 r (r - 1) t^r
5 r t cdot t^r - 1 = 5 r t^r
-2 t^r = -2 t^r
Então, a equação fica:
3 r (r - 1) t^r + 5 r t^r - 2 t^r = 0

Passo 5

Fatoramos $ t^{r} $ da equação:
t^r
Como $ t^{r} $ não é zero para $ t > 0 $, podemos dividir ambos os lados por $ t^{r} $, ficando:
t^r ( 3 r (r - 1) + 5 r - 2 ) = 0

Passo 6

Vamos expandir e simplificar a equação quadrática:
3 r^2 - 3 r + 5 r - 2 = 0
3 r^2 + 2 r - 2 = 0

Passo 7

Agora, resolvemos a equação quadrática $ 3 r^{2} + 2 r - 2 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
3 r^2 + 2 r - 2 = 0
Onde $ a = 3 $, $ b = 2 $ e $ c = -2 $:
r = -b pm raizb^2 - 4ac 2a
a = 3
b = 2
Simplificando a raiz:
c = -2
Então:
r = -2 pm raiz(2)^2 - 4 cdot 3 cdot (-2) 2 cdot 3

Resposta

Os valores de $ r $ são:
r

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