Use a técnica da separação de variáveis para resolver as seguintes equações e/ou P.V.I: Observação: Ao resolver as equações separáveis, tome cuidado com indefinições das funções que aparecem na integração, por exemplo ao dividir por uma função que possa se
anular. Separe esses casos e analise separadamente. Lembrem que a função logaritmo não está definida para números negativos, considere $\log (|y|)$ quando for o caso.
log (|y|).

Passo 1

Resumindo o problema, temos a equação diferencial y'(x)=x,y(x), que é separável. Vamos usar separação de variáveis, integrar, tomar cuidado com o domínio de ln|y| e tratar o caso y=0.

Passo 2

Assumindo yneq0, reescrevemos dydx=x,y como 1y,dydx=x e, em seguida, separamos as variáveis: dyy=x,dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integraldyy=integral x,dx

Passo 4

o que resulta em ln|y|=tfracx^22+C, onde C é constante de integração.

Passo 5

Aplicando exponencial em ambos os lados obtemos:
|y|=e^x^22+C=e^C,e^x^22

Passo 6

Definindo K=e^C>0, fica |y|=K,e^x^22, logo y=pm K,e^x^22. Unificando o sinal em uma constante arbitrária C1, temos y(x)=C1,e^x^22 para C1neq0.

Passo 7

Agora consideramos o caso separado y(x)=0. Substituindo em y'=x,y 0=0, logo yequiv0 também é solução. Permitir C1=0 incorpora essa solução trivial.

Resposta

A solução geral é
y(x)=C,e^tfracx^22,
onde CinR é a constante arbitrária que inclui o caso trivial yequiv0.

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