Use a técnica da separação de variáveis para resolver as seguintes equações e/ou P.V.I: Observação: Ao resolver as equações separáveis, tome cuidado com indefinições das funções que aparecem na integração, por exemplo ao dividir por uma função que possa se
anular. Separe esses casos e analise separadamente. Lembrem que a função logaritmo não está definida para números negativos, considere $\log (|y|)$ quando for o caso.
.
anular. Separe esses casos e analise separadamente. Lembrem que a função logaritmo não está definida para números negativos, considere $\log (|y|)$ quando for o caso.
Passo 1
Resumindo o problema, temos a equação diferencial
, que é separável. Vamos usar separação de variáveis, integrar, tomar cuidado com o domínio de
e tratar o caso
.
Passo 2
Assumindo
, reescrevemos
como
e, em seguida, separamos as variáveis:
.
Passo 3
Integramos ambos os lados:
Passo 4
o que resulta em
, onde
é constante de integração.
Passo 5
Aplicando exponencial em ambos os lados obtemos:
Passo 6
Definindo
, fica
, logo
. Unificando o sinal em uma constante arbitrária
, temos
para
.
Passo 7
Agora consideramos o caso separado
. Substituindo em
dá
, logo
também é solução. Permitir
incorpora essa solução trivial.
Resposta
A solução geral é
onde
é a constante arbitrária que inclui o caso trivial
.