Resolva as seguintes equações diferenciais e os problemas de valor inicial
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
O que é pedido: encontrar a solução geral (não foi dado nenhum valor inicial). Informações relevantes fornecidas:
- O coeficiente de
e o termo independente envolvem , portanto é singural; as soluções serão consideradas em intervalos onde . - Não há condição inicial, logo devemos retornar a solução geral com uma constante arbitrária
.
Passo 2
Colocar a equação em forma padrão para equações lineares de 1ª ordem:
.
Aqui
Aqui
A idéia agora é usar o fator integrante (integrating factor) para transformar a equação numa forma que seja derivada de um produto.
Passo 3
Definir o fator integrante
por
Calculemos
. Como
, tem-se
Portanto
Comentário didático: esse fator
é escolhido para que, ao multiplicar a equação original por
, o lado esquerdo vire a derivada de
. É um truque padrão que facilita muito a integração.
Passo 4
Multiplicando a equação original por
obtemos
Pelo teorema do produto (regra da cadeia), o lado esquerdo é precisamente a derivada de
, ou seja
Passo 5
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é constante arbitrária. Para calcular a integral use a substituição
Então
Voltando, obtemos
onde já absorvemos
na constante geral
.
Passo 6
Isolando
dividindo por
(que é não-nulo para
):
onde
é constante arbitrária. Observações finais:
- Esta é a solução geral da equação válida para
. - Uma solução particular simples é obtida escolhendo
: .
Passo 7
Verificação rápida (importante em prova): calcule
para
.
Usando a regra da cadeia:
Usando a regra da cadeia:
Agora
confirmando que a solução está correta.