Resolva as seguintes equações diferenciais e os problemas de valor inicial
y^{\prime}-\frac{3}{x^{2}} y=\frac{1}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y' - \frac{3}{x^{2}}\,y = \frac{1}{x^{2}}.
O que é pedido: encontrar a solução geral (não foi dado nenhum valor inicial). Informações relevantes fornecidas:
  • O coeficiente de y e o termo independente envolvem x^{-2}, portanto x=0 é singural; as soluções serão consideradas em intervalos onde x\neq 0.
  • Não há condição inicial, logo devemos retornar a solução geral com uma constante arbitrária C.

Passo 2

Colocar a equação em forma padrão para equações lineares de 1ª ordem: \;y'+p(x)\,y=q(x)\;.
Aqui
p(x) = -\frac{3}{x^{2}},\qquad q(x)=\frac{1}{x^{2}}.
A idéia agora é usar o fator integrante (integrating factor) para transformar a equação numa forma que seja derivada de um produto.

Passo 3

Definir o fator integrante \mu(x) por
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right).
Calculemos \int p(x)\,dx=\int -\frac{3}{x^{2}}\,dx. Como \int x^{-2}\,dx=-x^{-1}, tem-se
\int -\frac{3}{x^{2}}\,dx = -3\int x^{-2}\,dx = -3(-x^{-1}) = \frac{3}{x}.
Portanto
\mu(x)=\exp\!\left(\frac{3}{x}\right)=e^{3/x}.
Comentário didático: esse fator \mu é escolhido para que, ao multiplicar a equação original por \mu, o lado esquerdo vire a derivada de \mu y. É um truque padrão que facilita muito a integração.

Passo 4

Multiplicando a equação original por \mu(x)=e^{3/x} obtemos
e^{3/x}y' - \frac{3}{x^{2}}e^{3/x}y = \frac{1}{x^{2}} e^{3/x}.
Pelo teorema do produto (regra da cadeia), o lado esquerdo é precisamente a derivada de \;e^{3/x}y\;, ou seja
\frac{d}{dx}\!\left(e^{3/x}y\right)=\frac{1}{x^{2}}e^{3/x}.

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
e^{3/x}y = \int \frac{1}{x^{2}}e^{3/x}\,dx + C,
onde C é constante arbitrária. Para calcular a integral use a substituição
u=\frac{3}{x}\quad\Rightarrow\quad du = -\frac{3}{x^{2}}\,dx \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{x^{2}}\,dx = -\frac{1}{3}\,du.
Então
\int \frac{1}{x^{2}}e^{3/x}\,dx = \int e^{u}\left(-\frac{1}{3}\,du\right) = -\frac{1}{3}e^{u}+C_1 = -\frac{1}{3}e^{3/x}+C_1.
Voltando, obtemos
e^{3/x}y = -\frac{1}{3}e^{3/x} + C,
onde já absorvemos C_1 na constante geral C.

Passo 6

Isolando y dividindo por e^{3/x} (que é não-nulo para x\neq0):
y(x) = -\frac{1}{3} + C e^{-3/x},
onde C é constante arbitrária. Observações finais:
  • Esta é a solução geral da equação válida para x\neq 0.
  • Uma solução particular simples é obtida escolhendo C=0: y_p(x)=-\tfrac{1}{3}.

Passo 7

Verificação rápida (importante em prova): calcule y' para y=-\tfrac{1}{3}+C e^{-3/x}.
Usando a regra da cadeia:
y' = C e^{-3/x}\cdot\frac{d}{dx}\!\left(-\frac{3}{x}\right) = C e^{-3/x}\cdot\frac{3}{x^{2}}.
Agora
y' - \frac{3}{x^{2}}y = C\frac{3}{x^{2}}e^{-3/x} - \frac{3}{x^{2}}\Big(-\tfrac{1}{3}+C e^{-3/x}\Big) = \frac{1}{x^{2}},
confirmando que a solução está correta.

Resposta

y(x)=-\dfrac{1}{3}+C\,e^{-3/x},\quad x\neq 0

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