Sejam
e
. Determine o valor mínimo das funçōes:
, definida para todo
.
Passo 1
O enunciado dá as informações seguintes:
e a função a ser estudada é
A pergunta é: determinar o valor mínimo de
para
.
Nada mais é pedido explicitamente (por exemplo, não pediram apenas onde ocorre o mínimo, mas o valor mínimo em si).
Nada mais é pedido explicitamente (por exemplo, não pediram apenas onde ocorre o mínimo, mas o valor mínimo em si).
Passo 2
Vamos simplificar a manipulação usando a substituição
Expliquei isso porque
é uma função bijetora de
para
: cada
corresponde a um único
e vice-versa (a inversa é
). Assim minimizar
em
equivale a minimizar a função de
Essa forma é mais confortável porque estamos a trabalhar com potências de
.
Passo 3
Agora vou procurar os pontos críticos de
usando cálculo (derivadas). Relembre rapidamente a regra de derivação de potências: para
com
, temos
. Aplicando isso:
Um ponto crítico ocorre quando
. Igualando a zero:
Passo 4
Isolamos
na equação do passo anterior. Primeiro movemos o segundo termo para o outro lado:
Multiplicando ambos os lados por
(válido porque
) obtemos
Logo
Como
, o lado direito é positivo (pois
), existe uma única solução positiva:
Esse é o único ponto crítico em
.
Passo 5
Para garantir que
realmente dá um mínimo (e não um máximo), eu verifico a concavidade: calcule a segunda derivada usando a regra da potência:
Como
,
, e
implicam
e
, cada termo é não negativo e o segundo termo é estritamente positivo para todo
. Portanto
para todo
, ou seja,
é estritamente convexa em
. Assim o ponto crítico
é de fato o único e estrito mínimo global.
Passo 6
Agora avalio o valor mínimo: substituo
em
. Primeiro calculo as potências individuais:
Então
Agora faço uma fatoração útil para deixar o resultado simétrico e claro. Note que
e
Somando as duas parcelas obtemos o valor mínimo:
Como minimizar em
é equivalente a minimizar em
, esse é o mínimo de
. (Se quiser saber o ponto onde ocorre: ele corresponde a
.)]