Sejam a, b>0 e m, n \in \mathbb{N}. Determine o valor mínimo das funçōes:
f(x)=a 2^{m x}+b 2^{-n x}, definida para todo x \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado dá as informações seguintes:
a>0,\quad b>0,\quad m\in\mathbb{N},\quad n\in\mathbb{N},
e a função a ser estudada é
f(x)=a\,2^{m x}+b\,2^{-n x},\qquad x\in\mathbb{R}.
A pergunta é: determinar o valor mínimo de f(x) para x\in\mathbb{R}.
Nada mais é pedido explicitamente (por exemplo, não pediram apenas onde ocorre o mínimo, mas o valor mínimo em si).

Passo 2

Vamos simplificar a manipulação usando a substituição
t=2^{x}.
Expliquei isso porque 2^{x} é uma função bijetora de \mathbb{R} para (0,\infty): cada x\in\mathbb{R} corresponde a um único t>0 e vice-versa (a inversa é x=\log_{2}t). Assim minimizar f(x) em x\in\mathbb{R} equivale a minimizar a função de t>0
g(t)=a\,t^{m}+b\,t^{-n},\qquad t>0.
Essa forma é mais confortável porque estamos a trabalhar com potências de t.

Passo 3

Agora vou procurar os pontos críticos de g(t) usando cálculo (derivadas). Relembre rapidamente a regra de derivação de potências: para h(t)=t^{k} com k\in\mathbb{R}, temos h'(t)=k\,t^{k-1}. Aplicando isso:
g'(t)=a\cdot m\,t^{m-1}+b\cdot(-n)\,t^{-n-1}=a m\,t^{m-1}-b n\,t^{-n-1}.
Um ponto crítico ocorre quando g'(t)=0. Igualando a zero:
a m\,t^{m-1}-b n\,t^{-n-1}=0.

Passo 4

Isolamos t na equação do passo anterior. Primeiro movemos o segundo termo para o outro lado:
a m\,t^{m-1}=b n\,t^{-n-1}.
Multiplicando ambos os lados por t^{n+1} (válido porque t>0) obtemos
a m\,t^{m+n}=b n.
Logo
t^{m+n}=\frac{b n}{a m}.
Como m+n>0, o lado direito é positivo (pois a,b>0), existe uma única solução positiva:
t_{*}=\left(\frac{b n}{a m}\right)^{\frac{1}{m+n}}.
Esse é o único ponto crítico em (0,\infty).

Passo 5

Para garantir que t_{*} realmente dá um mínimo (e não um máximo), eu verifico a concavidade: calcule a segunda derivada usando a regra da potência:
g''(t)=a m(m-1)\,t^{m-2}+b n(n+1)\,t^{-n-2}.
Como a>0, b>0, e m,n\in\mathbb{N} implicam m(m-1)\ge 0 e n(n+1)>0, cada termo é não negativo e o segundo termo é estritamente positivo para todo t>0. Portanto g''(t)>0 para todo t>0, ou seja, g é estritamente convexa em (0,\infty). Assim o ponto crítico t_{*} é de fato o único e estrito mínimo global.

Passo 6

Agora avalio o valor mínimo: substituo t_{*} em g(t)=a t^{m}+b t^{-n}. Primeiro calculo as potências individuais:
t_{*}^{m}=\left(\frac{b n}{a m}\right)^{\frac{m}{m+n}},\qquad t_{*}^{-n}=\left(\frac{b n}{a m}\right)^{-\frac{n}{m+n}}=\left(\frac{a m}{b n}\right)^{\frac{n}{m+n}}.
Então
\begin{aligned} g(t_{*})&=a\,t_{*}^{m}+b\,t_{*}^{-n}\\[6pt] &=a\left(\frac{b n}{a m}\right)^{\frac{m}{m+n}}+b\left(\frac{a m}{b n}\right)^{\frac{n}{m+n}}. \end{aligned}
Agora faço uma fatoração útil para deixar o resultado simétrico e claro. Note que
a\left(\frac{b n}{a m}\right)^{\frac{m}{m+n}}=a^{\frac{n}{m+n}}b^{\frac{m}{m+n}}\left(\frac{n}{m}\right)^{\frac{m}{m+n}}
e
b\left(\frac{a m}{b n}\right)^{\frac{n}{m+n}}=a^{\frac{n}{m+n}}b^{\frac{m}{m+n}}\left(\frac{m}{n}\right)^{\frac{n}{m+n}}.
Somando as duas parcelas obtemos o valor mínimo:
g(t_{*})=a^{\frac{n}{m+n}}b^{\frac{m}{m+n}}\left[\left(\frac{n}{m}\right)^{\frac{m}{m+n}}+\left(\frac{m}{n}\right)^{\frac{n}{m+n}}\right].
Como minimizar em t>0 é equivalente a minimizar em x\in\mathbb{R}, esse é o mínimo de f(x). (Se quiser saber o ponto onde ocorre: ele corresponde a x_{*}=\log_{2}t_{*}=\dfrac{1}{m+n}\log_{2}\!\left(\dfrac{b n}{a m}\right).)]

Resposta

\min_{x\in\mathbb{R}}f(x)=a^{\frac{n}{m+n}}b^{\frac{m}{m+n}}\!\left[\left(\frac{n}{m}\right)^{\frac{m}{m+n}}+\left(\frac{m}{n}\right)^{\frac{n}{m+n}}\right]

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