Sejam
e
. Determine o valor mínimo das funçōes:
, definida para todo
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o valor mínimo da função
dada por
definida para
, com
e
.
Informações relevantes fornecidas:
e o domínio de
é
.
O que precisamos encontrar: o menor valor que
assume nesse intervalo (e, se for útil, onde esse mínimo ocorre).
Passo 2
Mudança de variável para simplificar a expressão. Como
, temos
. Vamos definir
então
e
. Substituindo em
obtemos uma função em
:
Assim, encontrar o mínimo de
em
é equivalente a encontrar o mínimo de
para
.
Passo 3
Escolhi usar derivadas para encontrar o mínimo porque
é uma função suave de uma variável positiva e isso nos dá uma condição simples para extremos (derivada nula) e uma verificação de convexidade. Vou explicar cada passo da diferenciação e interpretação, sem pular etapas.
Regra usada: a derivada de
em relação a
é
para qualquer
.
Passo 4
Calculemos a derivada de
:
Para pontos críticos, igualamos a zero:
Rearranjando:
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Logo
e daí a solução positiva (única) para
é
Ou seja, o candidato a ponto de mínimo é
Passo 5
Verificação de que esse ponto é mínimo global. Calculamos a segunda derivada:
Para todo
temos
(cada termo é positivo porque
e
), portanto
é convexa em
. Assim qualquer ponto crítico é um mínimo global. Como achamos um único ponto crítico
, ele dá o mínimo global de
, e portanto de
.
Passo 6
Agora vamos calcular o valor mínimo
. Substituindo
em
:
Para simplificar essa expressão, faça as manipulações cuidadosamente. Primeiro escrevemos cada termo fatorando potências de
e
:
e
Note que
e
. Assim ambas parcelas têm o fator comum
Fatorando esse termo:
Agora fatoramos ainda
dentro do parêntese:
porque multiplicando
por
recuperamos o primeiro termo e por
recuperamos o segundo termo (veja a conta detalhada:
, etc.).
Portanto
Escrevendo de forma compacta com uma única potência:
Passo 7
Conclusão e interpretação final: o mínimo de
em
é atingido quando
e o valor mínimo é