Sejam a, b>0 e m, n \in \mathbb{N}. Determine o valor mínimo das funçōes:
g(x)=a[\tan x]^{m}+b[\cot x]^{n}, definida para todo 0<x<\pi / 2.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o valor mínimo da função g dada por
g(x)=a[\tan x]^{m}+b[\cot x]^{n},
definida para 0<x<\pi/2, com a,b>0 e m,n\in\mathbb{N}.
Informações relevantes fornecidas:
a>0,\quad b>0,\quad m\in\mathbb{N},\quad n\in\mathbb{N},
e o domínio de g é 0<x<\pi/2.
O que precisamos encontrar: o menor valor que g(x) assume nesse intervalo (e, se for útil, onde esse mínimo ocorre).

Passo 2

Mudança de variável para simplificar a expressão. Como 0<x<\pi/2, temos \tan x>0. Vamos definir
t=\tan x,
então t>0 e \cot x=1/t. Substituindo em g obtemos uma função em t:
f(t)=a\,t^{m}+b\,t^{-n},\qquad t>0.
Assim, encontrar o mínimo de g(x) em 0<x<\pi/2 é equivalente a encontrar o mínimo de f(t) para t>0.

Passo 3

Escolhi usar derivadas para encontrar o mínimo porque f é uma função suave de uma variável positiva e isso nos dá uma condição simples para extremos (derivada nula) e uma verificação de convexidade. Vou explicar cada passo da diferenciação e interpretação, sem pular etapas.
Regra usada: a derivada de t^{k} em relação a t é k\,t^{k-1} para qualquer k\in\mathbb{R}.

Passo 4

Calculemos a derivada de f:
f'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(a\,t^{m}+b\,t^{-n}\bigr)=a\,m\,t^{m-1}-b\,n\,t^{-n-1}.
Para pontos críticos, igualamos a zero:
a\,m\,t^{m-1}-b\,n\,t^{-n-1}=0.
Rearranjando:
a\,m\,t^{m-1}=b\,n\,t^{-n-1}.
Multiplicando ambos os lados por t^{n+1} obtemos
a\,m\,t^{m+n}=b\,n.
Logo
t^{m+n}=\frac{b\,n}{a\,m},
e daí a solução positiva (única) para t é
t_{0}=\left(\frac{b\,n}{a\,m}\right)^{\!1/(m+n)}.
Ou seja, o candidato a ponto de mínimo é
\tan x = t_{0}=\left(\frac{b\,n}{a\,m}\right)^{\!1/(m+n)}.

Passo 5

Verificação de que esse ponto é mínimo global. Calculamos a segunda derivada:
f''(t)=a\,m(m-1)\,t^{m-2}+b\,n(n+1)\,t^{-n-2}.
Para todo t>0 temos f''(t)>0 (cada termo é positivo porque a,b>0 e m,n\in\mathbb{N}), portanto f é convexa em (0,\infty). Assim qualquer ponto crítico é um mínimo global. Como achamos um único ponto crítico t_{0}>0, ele dá o mínimo global de f, e portanto de g.

Passo 6

Agora vamos calcular o valor mínimo f(t_{0}). Substituindo t_{0} em f:
f(t_{0})=a\left(\frac{b\,n}{a\,m}\right)^{\!m/(m+n)}+b\left(\frac{b\,n}{a\,m}\right)^{-n/(m+n)}.
Para simplificar essa expressão, faça as manipulações cuidadosamente. Primeiro escrevemos cada termo fatorando potências de a e b:
a\left(\frac{b\,n}{a\,m}\right)^{\!m/(m+n)}= a^{\,1-m/(m+n)}\,b^{\,m/(m+n)}\,n^{\,m/(m+n)}\,m^{-m/(m+n)}
e
b\left(\frac{b\,n}{a\,m}\right)^{-n/(m+n)}= b^{\,1-n/(m+n)}\,a^{\,n/(m+n)}\,m^{\,n/(m+n)}\,n^{-n/(m+n)}.
Note que a^{1-m/(m+n)}=a^{n/(m+n)} e b^{1-n/(m+n)}=b^{m/(m+n)}. Assim ambas parcelas têm o fator comum
a^{\,n/(m+n)}\,b^{\,m/(m+n)}.
Fatorando esse termo:
f(t_{0})=a^{\,n/(m+n)}\,b^{\,m/(m+n)}\Bigl(n^{\,m/(m+n)}m^{-m/(m+n)}+m^{\,n/(m+n)}n^{-n/(m+n)}\Bigr).
Agora fatoramos ainda m^{-m/(m+n)}n^{-n/(m+n)} dentro do parêntese:
n^{\,m/(m+n)}m^{-m/(m+n)}+m^{\,n/(m+n)}n^{-n/(m+n)} = m^{-m/(m+n)}n^{-n/(m+n)}\bigl(n+m\bigr),
porque multiplicando m^{-m/(m+n)}n^{-n/(m+n)} por n recuperamos o primeiro termo e por m recuperamos o segundo termo (veja a conta detalhada: m^{-m/(m+n)}n^{-n/(m+n)}\cdot n = m^{-m/(m+n)}n^{m/(m+n)}, etc.).
Portanto
f(t_{0})=(m+n)\,a^{\,n/(m+n)}\,b^{\,m/(m+n)}\,m^{-m/(m+n)}\,n^{-n/(m+n)}.
Escrevendo de forma compacta com uma única potência:
f(t_{0})=(m+n)\left(\frac{a^{n}b^{m}}{m^{m}n^{n}}\right)^{\!1/(m+n)}.

Passo 7

Conclusão e interpretação final: o mínimo de g(x) em 0<x<\pi/2 é atingido quando
\tan x=\left(\frac{b\,n}{a\,m}\right)^{\!1/(m+n)},
e o valor mínimo é
\min_{0<x<\pi/2}g(x)=(m+n)\left(\frac{a^{n}b^{m}}{m^{m}n^{n}}\right)^{\!1/(m+n)}.

Resposta

\displaystyle \tan x=\left(\frac{b\,n}{a\,m}\right)^{\!1/(m+n)}
\displaystyle \min_{0<x<\pi/2}g(x)=(m+n)\left(\frac{a^{n}b^{m}}{m^{m}n^{n}}\right)^{\!1/(m+n)}

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