Determinar os valores próprios e os vetores próprios das seguintes transformaçōes lineares:
$$T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=(2 \mathrm{x}+2 \mathrm{y}, \mathrm{x}+3 \mathrm{y})

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores próprios (autovalores) e os vetores próprios (autovetores) da transformação linear
T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2,\quad T(x,y) = (2x+2y,\;x+3y).
O conteúdo usado será representação matricial em relação à base canônica, cálculo do polinômio característico e resolução de sistemas lineares para os autovetores.

Passo 2

Em relação à base canônica \{(1,0),(0,1)\}, a matriz de T é
A = \begin{pmatrix}2 & 2 \\[6pt]1 & 3\end{pmatrix}.]

Passo 3

O polinômio característico de A é dado por
\det(A - \lambda I) = \det\!\begin{pmatrix}2-\lambda & 2 \\[4pt]1 & 3-\lambda\end{pmatrix} = (2-\lambda)(3-\lambda)\;-\;2\cdot1.
Expandindo,
(2-\lambda)(3-\lambda) - 2 = 6 -5\lambda + \lambda^2 -2 = \lambda^2 -5\lambda +4.]

Passo 4

Para achar os autovalores, resolvemos
\lambda^2 -5\lambda +4 = 0.
As raízes são
\lambda = \frac{5 \pm \sqrt{25 -16}}{2} = \frac{5\pm3}{2},
isto é
\lambda_1 = 4, \quad \lambda_2 = 1.

Passo 5

Agora determinamos os autovetores de cada autovalor:
Para \lambda_1 = 4, resolvemos (A - 4I)v = 0, isto é
\begin{pmatrix}2-4 & 2 \\[4pt]1 & 3-4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 & 2 \\[4pt]1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
A primeira equação dá -2x+2y=0, logo y=x. Um autovetor associado é
v_1 = \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Para \lambda_2 = 1, resolvemos (A - I)v = 0, ou
\begin{pmatrix}2-1 & 2 \\[4pt]1 & 3-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt]1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Da primeira linha temos x+2y=0, isto é x=-2y. Um autovetor pode ser
v_2 = \begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Resposta

Os valores próprios são \lambda_1=4 e \lambda_2=1.
Um autovetor para \lambda_1=4 é \bigl(1,1\bigr) e para \lambda_2=1 é \bigl(-2,1\bigr).

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