Determinar os valores próprios e os vetores próprios das seguintes transformaçōes lineares:
$$T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=(2 \mathrm{x}+2 \mathrm{y}, \mathrm{x}+3 \mathrm{y})
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os valores próprios (autovalores) e os vetores próprios (autovetores) da transformação linear
O conteúdo usado será representação matricial em relação à base canônica, cálculo do polinômio característico e resolução de sistemas lineares para os autovetores.
Passo 2
Em relação à base canônica
, a matriz de
é
Passo 3
O polinômio característico de
é dado por
Expandindo,
Passo 4
Para achar os autovalores, resolvemos
As raízes são
isto é
Passo 5
Agora determinamos os autovetores de cada autovalor:
Para
, resolvemos
, isto é
A primeira equação dá
, logo
. Um autovetor associado é
Para
, resolvemos
, ou
Da primeira linha temos
, isto é
. Um autovetor pode ser
Resposta
Os valores próprios são
e
.
Um autovetor para é
e para
é
.
Um autovetor para