(2.5) Determine o objeto geométrico dado pela equação
e descreva todas as suas características.
Passo 1
O enunciado nos dá a quádricas de segundo grau
e pede para identificar o objeto geométrico e descrever suas características.
Conteúdo: completar quadrados, levar à forma canônica e classificar pela assinatura dos coeficientes.
Conteúdo: completar quadrados, levar à forma canônica e classificar pela assinatura dos coeficientes.
Passo 2
Primeiro, agrupamos os termos em
,
e
:
Passo 3
Agora completamos quadrados em cada parêntese:
Substituindo e somando constantes:
Passo 4
Reescrevendo em forma canônica nivelada a
, isolamos o termo em
e dividimos por
:
Passo 5
Da forma
vemos que há um termo positivo e dois negativos, caracterizando um hiperbolóide de duas folhas com:
– centro em .
– eixo principal paralelo ao eixo .
– semi-eixos na direção de comprimento
, na direção
de comprimento
, e na direção
(distância dos vértices ao centro) de
.
– vértices em
– centro em
– eixo principal paralelo ao eixo
– semi-eixos na direção
– vértices em
– cone assintótico dado por
Resposta
O objeto é um hiperbolóide de duas folhas
• centro em
• eixo principal paralelo a
• vértices em
• forma canônica
• centro em
• eixo principal paralelo a
• vértices em
• forma canônica