(2.5) Determine o objeto geométrico dado pela equação 3 x^{2}+6 y^{2}-z^{2}+12 x-12 y+2 z+23=0 e descreva todas as suas características.

Passo 1

O enunciado nos dá a quádricas de segundo grau
3x^{2}+6y^{2}-z^{2}+12x-12y+2z+23=0
e pede para identificar o objeto geométrico e descrever suas características.
Conteúdo: completar quadrados, levar à forma canônica e classificar pela assinatura dos coeficientes.

Passo 2

Primeiro, agrupamos os termos em x, y e z:
3\bigl(x^{2}+4x\bigr)+6\bigl(y^{2}-2y\bigr)-\bigl(z^{2}-2z\bigr)+23=0.

Passo 3

Agora completamos quadrados em cada parêntese:
x^{2}+4x = (x+2)^{2}-4, \qquad y^{2}-2y = (y-1)^{2}-1, \qquad z^{2}-2z = (z-1)^{2}-1.
Substituindo e somando constantes:
3\bigl((x+2)^{2}-4\bigr) +6\bigl((y-1)^{2}-1\bigr) -\bigl((z-1)^{2}-1\bigr) +23=0
3(x+2)^{2}-12 \;+\;6(y-1)^{2}-6 \;-\;(z-1)^{2}+1 \;+\;23=0
3(x+2)^{2}+6(y-1)^{2}-(z-1)^{2}+6=0.

Passo 4

Reescrevendo em forma canônica nivelada a 1, isolamos o termo em (z-1)^{2} e dividimos por 6:
3(x+2)^{2}+6(y-1)^{2}-(z-1)^{2}=-6 \;\Longleftrightarrow\; (z-1)^{2}-3(x+2)^{2}-6(y-1)^{2}=6
\frac{(z-1)^{2}}{6}-\frac{(x+2)^{2}}{2}-\;(y-1)^{2}=1.

Passo 5

Da forma
\frac{(z-1)^{2}}{6}-\frac{(x+2)^{2}}{2}-\;(y-1)^{2}=1
vemos que há um termo positivo e dois negativos, caracterizando um hiperbolóide de duas folhas com:
– centro em C=(-2,\,1,\,1).
– eixo principal paralelo ao eixo z.
– semi-eixos na direção x de comprimento \sqrt{2}, na direção y de comprimento 1, e na direção z (distância dos vértices ao centro) de \sqrt{6}.
– vértices em
(-2,\,1,\,1\pm\sqrt{6}).
– cone assintótico dado por
\frac{(z-1)^{2}}{6}-\frac{(x+2)^{2}}{2}-\;(y-1)^{2}=0.

Resposta

O objeto é um hiperbolóide de duas folhas
• centro em (-2,1,1)
• eixo principal paralelo a z
• vértices em (-2,1,\,1\pm\sqrt{6})
• forma canônica
\frac{(z-1)^{2}}{6}-\frac{(x+2)^{2}}{2}-(y-1)^{2}=1.

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